Inneres Produkt??? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Di 01.02.2005 | | Autor: | MrPink |
Hallo, ich habe folgende Aufgaben:
http://www.geocities.com/knusselfuppen/Unbenannt.JPG
Kann mir jemand vielleicht bei einer Aufgabe sagen, ob und warum es sich um ein inneres Produkt oder nicht handelt, die Restlichen versuche ich dann mal alleine
Danke im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Di 01.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Gut, dann mache ich dir die erste und dritte Aufgabe mal in Ansätzen vor.
1) Es gilt ja:
[mm] $\Phi(x,y) [/mm] = [mm] x_{{\cal B}}^T \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot y_{{\cal B}}$,
[/mm]
wobei [mm] $x_{{\cal B}}$ [/mm] bzw. [mm] $y_{{\cal B}}$ [/mm] die Koordinatenvektoren von $x$ bzw. $y$ bezüglich der Basis [mm] ${\cal B}$ [/mm] sind.
Die Bilinearität von [mm] $\Phi$ [/mm] ist offensichtlich, die Symmetrie von [mm] $\Phi$ [/mm] folgt unmittelbar aus der Symmetrie von [mm] $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$. [/mm] Da [mm] $\red{\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}}$ [/mm] aber nicht positiv definit ist, ist auch [mm] $\Phi$ [/mm] nicht positiv definit.
3) Es handelt sich um kein inneres Produkt, da [mm] $\Phi$ [/mm] nicht positiv definit ist.
So gilt für die auf $[-1,1]$ stetige Funktion
$f(x) = [mm] \left\{ \begin{array}{ccc} x & , & x\in[-1,0),\\[5pt] 0 & , & x \in [0,1] \end{array} \right.$
[/mm]
offenbar [mm] $\Phi(f,f)=0$, [/mm] aber $f [mm] \ne [/mm] 0$.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:39 Di 01.02.2005 | | Autor: | MrPink |
Ok, also sind 2 und 4 Innere Produkte:
2:
Ist Bilinear und nat. auch auch symmetrisch und positiv definit
4: Die funktion bildet von [0,1] ab und ist somit auch positiv definit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Di 01.02.2005 | | Autor: | MrPink |
Ich habe die Antworten jetzt im Internet abgeschickt, aber mir sagt der Test, dass 1.) keine Inneres Produkt ist :-( wieso ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Di 01.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Weil ich nicht richtig hingeschaut hatte, ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") !
Ich habe es jetzt verbessert.
Deine anderen beiden Antworten sind richtig (allerdings müsste 4), insbesondere die positive Definitheit noch besser begründet werden).
Viele Grüße
Stefan
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