Integr. durch Reihenentwickl. < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:42 Do 23.06.2011 | | Autor: | Ikarus81 |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0.1}^{0.5}{\bruch{cos(x)}{e^{x}-1} dx} [/mm] |
Hallo miteinander! Das obenstehende Integral ist durch Reihenentwicklung zu lösen und dazu wär ich um einen Ansatz dankbar. Grundsätzlich kann man ja bei gebrochenrationalen integralen statt [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{Z}{N} dx} [/mm] eine Reihenentwicklung für Z und eine für [mm] \bruch{1}{N} [/mm] machen, diese Reihen multiplizieren und dann gliedweise integrieren. Allerdings lässt sich [mm] \bruch{1}{e^{x}-1} [/mm] in keine Tayloreihe entwickeln, daher brauche ich einen anderen Weg.
Vielen Dank!
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> [mm]\integral_{0.1}^{0.5}{\bruch{cos(x)}{e^{x}-1} dx}[/mm]
> Hallo
> miteinander! Das obenstehende Integral ist durch
> Reihenentwicklung zu lösen und dazu wär ich um einen
> Ansatz dankbar. Grundsätzlich kann man ja bei
> gebrochenrationalen integralen statt
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{Z}{N} dx}[/mm] eine Reihenentwicklung
> für Z und eine für [mm]\bruch{1}{N}[/mm] machen, diese Reihen
> multiplizieren und dann gliedweise integrieren. Allerdings
> lässt sich [mm]\bruch{1}{e^{x}-1}[/mm] in keine Tayloreihe
> entwickeln, daher brauche ich einen anderen Weg.
Hallo Ikarus81,
Taylorentwicklung an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] geht zwar
nicht, aber allenfalls an einer anderen Stelle. Bei den
vorliegenden Integrationsgrenzen könnte vielleicht
[mm] x_0=\frac{\pi}{12} [/mm] dienlich sein.
In Frage kommen könnte auch eine Zerlegung der Form
[mm] $\bruch{cos(x)}{e^{x}-1}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{1}{x}+g(x)$
[/mm]
Die Funktion g lässt sich auch an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] in
eine Taylorreihe entwickeln. Mathematica liefert:
$\ g(x)\ =\ [mm] -\frac{1}{2}-\frac{5\,x}{12}+\frac{x^2}{4}-\frac{x^3}{720}-\frac{x^4}{48}+\,.....$
[/mm]
Wie kompliziert die Herleitung dieser Reihe ist, weiß
ich nicht. Nimm meine Tipps also ohne Gewähr für eine
nutzbringende Durchführung, nur als Denkmöglichkeiten ...
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:21 Do 23.06.2011 | | Autor: | Ikarus81 |
Vielen Dank für die schnelle Reaktion, aber leider ist mir bei deinem Ansatz [mm] \bruch{1}{x} [/mm] + g(x) bisher kein Licht aufgegangen wie das funktioniert...
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> [mm]\integral_{0.1}^{0.5}{\bruch{cos(x)}{e^{x}-1} dx}[/mm]
> Hallo
> miteinander! Das obenstehende Integral ist durch
> Reihenentwicklung zu lösen und dazu wär ich um einen
> Ansatz dankbar. Grundsätzlich kann man ja bei
> gebrochenrationalen integralen statt
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{Z}{N} dx}[/mm] eine Reihenentwicklung
> für Z und eine für [mm]\bruch{1}{N}[/mm] machen, diese Reihen
> multiplizieren und dann gliedweise integrieren. Allerdings
> lässt sich [mm]\bruch{1}{e^{x}-1}[/mm] in keine Tayloreihe
> entwickeln, daher brauche ich einen anderen Weg.
>
> Vielen Dank!
Hallo Ikarus,
die Idee, ein Produkt von zwei Reihen zu bilden, hast
du ja selber schon erwähnt - wenn dies auch etwas um-
ständlich durchzuführen ist. Was sagst du zu diesem Weg:
[mm] $\bruch{cos(x)}{e^{x}-1}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\,....}{x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\,....}$
[/mm]
$\ =\ [mm] \frac{1}{x}*\frac{1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+\,....}{1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+\frac{x^3}{24}+\,....}$
[/mm]
Nun kann man [mm] $\frac{1}{1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+\frac{x^3}{24}+\,....}$
[/mm]
zu einer Reihe der Form $\ [mm] 1+a_1*x+a_2*x^2+a_3*x^3+\,....$
[/mm]
umformen (wir brauchen davon nur ein ausreichendes
Anfangsstück) und dann die Reihen multiplizieren ...
Zusammen mit dem Faktor [mm] \frac{1}{x} [/mm] entsteht dann ein
Ausdruck der Form [mm] $\frac{1}{x}\ +\underbrace{\ b_0+b_1*x+b_2*x^2+b_3*x^3+\,....}_{g(x)}$
[/mm]
Etwas umständlich, aber mittels einer Rekursions-
formel für die Koeffizienten [mm] b_k [/mm] durchaus machbar.
Vielleicht hat aber jemand doch noch einen prakti-
kableren Vorschlag.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 So 26.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]\integral_{0.1}^{0.5}{\bruch{cos(x)}{e^{x}-1} dx}[/mm]
> Hallo
> miteinander! Das obenstehende Integral ist durch
> Reihenentwicklung zu lösen und dazu wär ich um einen
> Ansatz dankbar. Grundsätzlich kann man ja bei
> gebrochenrationalen integralen statt
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{Z}{N} dx}[/mm] eine Reihenentwicklung
> für Z und eine für [mm]\bruch{1}{N}[/mm] machen, diese Reihen
> multiplizieren und dann gliedweise integrieren. Allerdings
> lässt sich [mm]\bruch{1}{e^{x}-1}[/mm] in keine Tayloreihe
> entwickeln, daher brauche ich einen anderen Weg.
Wie Al-Chwarizmi schon vorschlug, bietet sich eine Entwicklung um eine andere Stelle als 0 an. Ich würde [mm]\bruch{1}{e^{x}-1}[/mm] um den Punkt $0.1$ entwickeln. Dann steht in deinem Integral
[mm] \summe_{k=0}^\infty a_n \integral_{0.1}^{0.5}{(x-0.1)^n\cos x dx} [/mm],
was du durch mehrfache partielle Integration ausrechnen kannst. Du musst dabei n gerade und ungerade unterscheiden, hast aber den Vorteil, dass der Integrand außer für $n=0$ an der unteren Grenze verschwindet, was die partielle Integration vereinfacht.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 Mo 27.06.2011 | | Autor: | Ikarus81 |
Vielen Dank!
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