matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenIntegrationIntegr. durch Substitution
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Integration" - Integr. durch Substitution
Integr. durch Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Integr. durch Substitution: etwas grundsätzlicher
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:01 Mi 13.08.2014
Autor: geigenzaehler

Aufgabe
[mm] \integral{((x+a)^2+b^2)^{-1}dx} [/mm]   , b>0


Hallo,

bei meinen bisherigen Subst.-Aufgaben habe ich nach dem Schema u=... substituiert. Meist wird eine innere Fktn des Integranden durch u ersetzt.

Wie dies bei der vorliegenden Aufgabe zu sehen sein soll, was u ist, weiß ich nicht.

Jedoch habe ich mich durch die Musterlösung gearbeitet, die etwas grundsätzlicher an die Substitution herangeht, sozusagen diese explizit als Rückwärtsausführung der Kettenregel-Ableitung betrachtet. (Mir ist klar, dass Integr. durch Subst. IMMER darauf basiert...)

Es ist danach der Integrand f(x), der mit s(t) in f(s(t)) überführt wird. Man sieht hier also die innere und äußere Fktn wie es beim Ableiten nach der Kettenregel üblich ist. -> x=s(t)

Mit Substitution des Differentials ergibt sich also für ein Integral einer Funktion f(x)

[mm] ...= \integral{f(s(t))*s'(t)dt} [/mm]

Die konkrete Substitution f d Aufgabe beginnt dort, wo man ermittelt, wie ein geeignetes s(t) aussehen mag.

hier: x=s(t)=bt-a

Abgesehen davon, dass ich es ziemlich schwer finde, das zu sehen, frage ich mich:


Wie wäre die Substitution nach dem alten Schema mit u:=... von statten gegangen? Einerseits müsste es total naheliegend sein nach der vorliegenden Musterlösung, aber ich bekomme es nicht zusammen.


Wenn man "nach dem alten, schulmäßigen Schema" auf die Ausgangsaufgabe schaut, hat man doch keine Chance, oder?
Ich hoffe bei all der Konfusion ist wenigstens die Frage nachvollziehbar.

        
Bezug
Integr. durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:25 Mi 13.08.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> [mm]\integral{((x+a)^2+b^2)^{-1}\,dx}\quad ,\ \ b>0 [/mm]
>  
> Hallo,
>  
> bei meinen bisherigen Subst.-Aufgaben habe ich nach dem
> Schema u=... substituiert. Meist wird eine innere Fktn des
> Integranden durch u ersetzt.
>  
> Wie dies bei der vorliegenden Aufgabe zu sehen sein soll,
> was u ist, weiß ich nicht.
>  
> Jedoch habe ich mich durch die Musterlösung gearbeitet,
> die etwas grundsätzlicher an die Substitution herangeht,
> sozusagen diese explizit als Rückwärtsausführung der
> Kettenregel-Ableitung betrachtet. (Mir ist klar, dass
> Integr. durch Subst. IMMER darauf basiert...)
>  
> Es ist danach der Integrand f(x), der mit s(t) in f(s(t))
> überführt wird. Man sieht hier also die innere und
> äußere Fktn wie es beim Ableiten nach der Kettenregel
> üblich ist. -> x=s(t)
>  
> Mit Substitution des Differentials ergibt sich also für
> ein Integral einer Funktion f(x)
>  
> [mm]...= \integral{f(s(t))*s'(t)\,dt} [/mm]
>  
> Die konkrete Substitution f d Aufgabe beginnt dort, wo man
> ermittelt, wie ein geeignetes s(t) aussehen mag.
>  
> hier: x=s(t)=bt-a
>  
> Abgesehen davon, dass ich es ziemlich schwer finde, das zu
> sehen, frage ich mich:
>  
>
> Wie wäre die Substitution nach dem alten Schema mit u:=...
> von statten gegangen? Einerseits müsste es total
> naheliegend sein nach der vorliegenden Musterlösung, aber
> ich bekomme es nicht zusammen.
>
>  
> Wenn man "nach dem alten, schulmäßigen Schema" auf die
> Ausgangsaufgabe schaut, hat man doch keine Chance, oder?
>  Ich hoffe bei all der Konfusion ist wenigstens die Frage
> nachvollziehbar.


Hello violin counter,

wenn man dieses Integral vorgelegt bekommt, kann man
(mit einiger Übung und Erfahrung) den Integranden wie
eine Zwiebel entblättern und dabei merken, dass das
Grundintegral, das darin steckt, das Arcustangensintegral
ist:

       [mm] $\integral\frac{1}{1+x^2}\ [/mm] dx\ =\ arctan(x)+C$

Da ist nur etwas Drumunddran dabei, das man mittels
geeigneter Substitutionen entfernen kann.

Ich würde also hier etwa so vorgehen:

1.) die einfache Substitution  $\ z:=x+a$  durchführen

Das verbleibende Integral sieht dann so aus:

       [mm] $\integral\frac{1}{z^2+b^{\,2}}\ [/mm] dz$

Daran stört jetzt noch, dass da als zusätzlicher Summand
zum [mm] z^2 [/mm] nicht eine 1 steht, sondern das [mm] b^2 [/mm] . Dies kann man
aber ganz leicht durch eine weitere kleine Substitution
ändern:

2.) zweite Substitution:   [mm] u:=\frac{z}{b} [/mm]

Führe dies durch, dann merkst du wohl, weshalb gerade
diese Substitution hilfreich ist und nach wenigen Schritten
zum Ziel führt.

LG ,   Al-Chwarizmi





Bezug
                
Bezug
Integr. durch Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:25 Mi 13.08.2014
Autor: geigenzaehler

Danke für die Antwort!!

Wie komme ich denn darauf, dass u=z/b sein soll?

Mir würde vorschweben:

[mm] \bruch{1}{z^2+b} sollsein= \bruch{1}{u^2+1} [/mm]

Wenn man das nach u auflöst, sollte doch herauskommen, was u ersetzen soll, oder?

Bei mir kommt das was anderes heraus. (vmtl. weil ich das mit dem Ausklammern von b nicht berücksichtigt habe)

Wenn man weiß, welcher Ausdruck in welchen anderen Ausdruck überführt werden soll unter Zuhilfenahme einer neuen Variable, so sollte man diese neue Variable doch durch ein(e) Gleichung(ssystem) ermitteln können, oder?
Wie sähe das hier aus?

Bezug
                        
Bezug
Integr. durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 Mi 13.08.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> [mm]\bruch{1}{z^2+b}\ \ \ soll\ sein\ = \bruch{1}{u^2+1}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

       [haee]  Exponent vergessen ?

Diese Terme müssen nicht gleich sein. Es genügt, wenn es bis
auf einen (noch festzulegenden) Faktor passt. Um es zu erklären,
kann man es so machen:

   $\bruch{1}{z^2+b^2} = \bruch{1}{b^2*\left(\frac{z^2}{b^2}+1\right)}\ =\ \frac{1}{b^2}\,*\,\bruch{1}{u^2+1\right)}$

wobei  $\ u\ =\ \frac{z}{b}$


LG ,   Al-Chw.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]