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| Aufgabe | | [mm] \integral{((x+a)^2+b^2)^{-1}dx} [/mm] , b>0 |
Hallo,
bei meinen bisherigen Subst.-Aufgaben habe ich nach dem Schema u=... substituiert. Meist wird eine innere Fktn des Integranden durch u ersetzt.
Wie dies bei der vorliegenden Aufgabe zu sehen sein soll, was u ist, weiß ich nicht.
Jedoch habe ich mich durch die Musterlösung gearbeitet, die etwas grundsätzlicher an die Substitution herangeht, sozusagen diese explizit als Rückwärtsausführung der Kettenregel-Ableitung betrachtet. (Mir ist klar, dass Integr. durch Subst. IMMER darauf basiert...)
Es ist danach der Integrand f(x), der mit s(t) in f(s(t)) überführt wird. Man sieht hier also die innere und äußere Fktn wie es beim Ableiten nach der Kettenregel üblich ist. -> x=s(t)
Mit Substitution des Differentials ergibt sich also für ein Integral einer Funktion f(x)
[mm] ...= \integral{f(s(t))*s'(t)dt} [/mm]
Die konkrete Substitution f d Aufgabe beginnt dort, wo man ermittelt, wie ein geeignetes s(t) aussehen mag.
hier: x=s(t)=bt-a
Abgesehen davon, dass ich es ziemlich schwer finde, das zu sehen, frage ich mich:
Wie wäre die Substitution nach dem alten Schema mit u:=... von statten gegangen? Einerseits müsste es total naheliegend sein nach der vorliegenden Musterlösung, aber ich bekomme es nicht zusammen.
Wenn man "nach dem alten, schulmäßigen Schema" auf die Ausgangsaufgabe schaut, hat man doch keine Chance, oder?
Ich hoffe bei all der Konfusion ist wenigstens die Frage nachvollziehbar.
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> [mm]\integral{((x+a)^2+b^2)^{-1}\,dx}\quad ,\ \ b>0 [/mm]
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> Hallo,
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> bei meinen bisherigen Subst.-Aufgaben habe ich nach dem
> Schema u=... substituiert. Meist wird eine innere Fktn des
> Integranden durch u ersetzt.
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> Wie dies bei der vorliegenden Aufgabe zu sehen sein soll,
> was u ist, weiß ich nicht.
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> Jedoch habe ich mich durch die Musterlösung gearbeitet,
> die etwas grundsätzlicher an die Substitution herangeht,
> sozusagen diese explizit als Rückwärtsausführung der
> Kettenregel-Ableitung betrachtet. (Mir ist klar, dass
> Integr. durch Subst. IMMER darauf basiert...)
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> Es ist danach der Integrand f(x), der mit s(t) in f(s(t))
> überführt wird. Man sieht hier also die innere und
> äußere Fktn wie es beim Ableiten nach der Kettenregel
> üblich ist. -> x=s(t)
>
> Mit Substitution des Differentials ergibt sich also für
> ein Integral einer Funktion f(x)
>
> [mm]...= \integral{f(s(t))*s'(t)\,dt} [/mm]
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> Die konkrete Substitution f d Aufgabe beginnt dort, wo man
> ermittelt, wie ein geeignetes s(t) aussehen mag.
>
> hier: x=s(t)=bt-a
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> Abgesehen davon, dass ich es ziemlich schwer finde, das zu
> sehen, frage ich mich:
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> Wie wäre die Substitution nach dem alten Schema mit u:=...
> von statten gegangen? Einerseits müsste es total
> naheliegend sein nach der vorliegenden Musterlösung, aber
> ich bekomme es nicht zusammen.
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> Wenn man "nach dem alten, schulmäßigen Schema" auf die
> Ausgangsaufgabe schaut, hat man doch keine Chance, oder?
> Ich hoffe bei all der Konfusion ist wenigstens die Frage
> nachvollziehbar.
Hello violin counter,
wenn man dieses Integral vorgelegt bekommt, kann man
(mit einiger Übung und Erfahrung) den Integranden wie
eine Zwiebel entblättern und dabei merken, dass das
Grundintegral, das darin steckt, das Arcustangensintegral
ist:
[mm] $\integral\frac{1}{1+x^2}\ [/mm] dx\ =\ arctan(x)+C$
Da ist nur etwas Drumunddran dabei, das man mittels
geeigneter Substitutionen entfernen kann.
Ich würde also hier etwa so vorgehen:
1.) die einfache Substitution $\ z:=x+a$ durchführen
Das verbleibende Integral sieht dann so aus:
[mm] $\integral\frac{1}{z^2+b^{\,2}}\ [/mm] dz$
Daran stört jetzt noch, dass da als zusätzlicher Summand
zum [mm] z^2 [/mm] nicht eine 1 steht, sondern das [mm] b^2 [/mm] . Dies kann man
aber ganz leicht durch eine weitere kleine Substitution
ändern:
2.) zweite Substitution: [mm] u:=\frac{z}{b}
[/mm]
Führe dies durch, dann merkst du wohl, weshalb gerade
diese Substitution hilfreich ist und nach wenigen Schritten
zum Ziel führt.
LG , Al-Chwarizmi
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Danke für die Antwort!!
Wie komme ich denn darauf, dass u=z/b sein soll?
Mir würde vorschweben:
[mm] \bruch{1}{z^2+b} sollsein= \bruch{1}{u^2+1} [/mm]
Wenn man das nach u auflöst, sollte doch herauskommen, was u ersetzen soll, oder?
Bei mir kommt das was anderes heraus. (vmtl. weil ich das mit dem Ausklammern von b nicht berücksichtigt habe)
Wenn man weiß, welcher Ausdruck in welchen anderen Ausdruck überführt werden soll unter Zuhilfenahme einer neuen Variable, so sollte man diese neue Variable doch durch ein(e) Gleichung(ssystem) ermitteln können, oder?
Wie sähe das hier aus?
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> [mm]\bruch{1}{z^2+b}\ \ \ soll\ sein\ = \bruch{1}{u^2+1}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Exponent vergessen ?
Diese Terme müssen nicht gleich sein. Es genügt, wenn es bis
auf einen (noch festzulegenden) Faktor passt. Um es zu erklären,
kann man es so machen:
$\bruch{1}{z^2+b^2} = \bruch{1}{b^2*\left(\frac{z^2}{b^2}+1\right)}\ =\ \frac{1}{b^2}\,*\,\bruch{1}{u^2+1\right)}$
wobei $\ u\ =\ \frac{z}{b}$
LG , Al-Chw.
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