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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 So 11.04.2010 | | Autor: | Rumba |
| Aufgabe | | ZZ: [mm] \integral{\bruch{1}{x^{2}\wurzel{1-x^{2}} } dx} [/mm] = - [mm] \wurzel{1-x^{2}} [/mm] /x |
Hi, ich soll das durch Substitution lösen.
Habe versucht u=1 - [mm] x^2
[/mm]
und dann bekommt man das neue Integral:
-1/2 [mm] \integral{\bruch{1}{\wurzel{u}} * \bruch{1}{(1-u)^{3/2} } du}
[/mm]
Das ist nicht wirklich besser...
Kann mir jemand helfen?
Das wär echt nett!
Danke
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Hallo Rumba,
> ZZ: [mm]\integral{\bruch{1}{x^{2}\wurzel{1-x^{2}} } dx}[/mm] = -
> [mm]\wurzel{1-x^{2}}[/mm] /x
> Hi, ich soll das durch Substitution lösen. Habe schon
> u= [mm]x^{2}[/mm] , u= 1/ [mm]x^{2}[/mm] , u= [mm]\wurzel{1-x^{2}}[/mm] und u=
> [mm]1-x^{2}[/mm] probiert. Bin mir auch ziemlich sicher, dass ich
> das richtig angewandt habe.
> Trotzdem kommt bei allen immer ein neues Integral über du
> raus, das auch nicht lösbar ist.
>
Dann poste doch Deine bisherigen Rechenschritte.
>
>
> Kann mir jemand helfen?
Auf den ersten Blick hilft eine trigonometrische Substitution weiter.
> Das wär echt nett!
> Danke
>
Gruss
MathePower
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Hallo,
bitte stelle beim nächsten Mal deine Frage nicht ohne Begründung wieder auf "Unbeantwortet" um.
Probiere eine Substitution
$x = [mm] \cos(y)$,
[/mm]
also
$y = [mm] \arccos(x)$
[/mm]
Die Ableitung ist dann [mm] $\frac{dy}{dx} [/mm] = [mm] -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
[/mm]
Danach bedenke [mm] $\tan'(y) [/mm] = [mm] \frac{1}{\cos^{2}(y)}$.
[/mm]
Zuletzt benötigst du die Identität
[mm] $\tan(\arccos(x)) [/mm] = [mm] \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}$.
[/mm]
Diese kannst du herleiten:
[mm] $\tan(x) [/mm] = [mm] \frac{\sin(x)}{\cos(x)} [/mm] = [mm] \frac{\sqrt{1-\cos^{2}(x)}}{\cos(x)}$.
[/mm]
(Nun Substitution x = [mm] \arccos(y)).
[/mm]
Grüße,
Stefan
PS.: Bin mir nicht sicher, ob das der einfachste Weg ist, aber er funktioniert.
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