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| Aufgabe | zu lösen ist folgendes Integral:
[mm] \integral_{}^{}{f(x)\bruch{3x^{2}-4x}{\wurzel[4]{6x^{2}-3x^{2}}} dx} [/mm] |
Nun, ich tu mich bei der integration von brüchen sehr schwer.
Ich könnte das umschreiben auf:
[mm] \integral_{}^{}{f(x)\bruch{3x^{2}}{\wurzel[4]{6x^{2}-3x^{2}}} dx}-\integral_{}^{}{f(x)\bruch{4x}{\wurzel[4]{6x^{2}-3x^{2}}} dx}
[/mm]
was natürlich [mm] 3x^{2} [/mm] und 4x aufgeleitet ergibt, das weiß ich
das ich das [mm] \wurzel[4]{6x^{2}-3x^{2}} [/mm] umschreiben könnte zu [mm] (6x^{2}-3x^{2})^{\bruch{1}{4}}
[/mm]
das ich aus [mm] \integral_{}^{}{f(x)\bruch{3x^{2}}{\wurzel[4]{6x^{2}-3x^{2}}} dx} [/mm] glaube [mm] \integral_{}^{} (3x^{2})*(6x^{2}-3x^{2})^{-\bruch{3}{4}}
[/mm]
machen könnt.
Aber ich bekomm es einfach nicht hin es zu integrieren, da ich nicht weiß wie.
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oder sollt ich
[mm] \wurzel[4]{6x^{2}-3x^{2}} [/mm] substituieren zu u?
also ich meine natürlich das [mm] 6x^{2}-3x^{2} [/mm] zu u
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Hallo haxenpeter,
> oder sollt ich
>
> [mm]\wurzel[4]{6x^{2}-3x^{2}}[/mm] substituieren zu u?
> also ich meine natürlich das [mm]6x^{2}-3x^{2}[/mm] zu u
Nein.
Gruss
MathePower
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Hallo haxenpeter,
> zu lösen ist folgendes Integral:
>
> [mm]\integral_{}^{}{f(x)\bruch{3x^{2}-4x}{\wurzel[4]{6x^{2}-3x^{2}}} dx}[/mm]
>
> Nun, ich tu mich bei der integration von brüchen sehr
> schwer.
>
> Ich könnte das umschreiben auf:
>
> [mm]\integral_{}^{}{f(x)\bruch{3x^{2}}{\wurzel[4]{6x^{2}-3x^{2}}} dx}-\integral_{}^{}{f(x)\bruch{4x}{\wurzel[4]{6x^{2}-3x^{2}}} dx}[/mm]
>
> was natürlich [mm]3x^{2}[/mm] und 4x aufgeleitet ergibt, das weiß
> ich
>
> das ich das [mm]\wurzel[4]{6x^{2}-3x^{2}}[/mm] umschreiben könnte
> zu [mm](6x^{2}-3x^{2})^{\bruch{1}{4}}[/mm]
Du kannst hier sogar noch mehr tun,
nämlich [mm]x^{2/4}[/mm] ausklammern.
>
> das ich aus
> [mm]\integral_{}^{}{f(x)\bruch{3x^{2}}{\wurzel[4]{6x^{2}-3x^{2}}} dx}[/mm]
> glaube [mm]\integral_{}^{} (3x^{2})*(6x^{2}-3x^{2})^{-\bruch{3}{4}}[/mm]
>
> machen könnt.
>
> Aber ich bekomm es einfach nicht hin es zu integrieren, da
> ich nicht weiß wie.
Lautet der Nenner des Integranden wirklich so,
dann kannst Du hergehen und [mm]x^{2/4}[/mm] ausklammern.
Gruss
MathePower
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Ja der Nenner ist so wie in der Aufgabenstellung
Ok dann wäre der Nenner [mm] (6x-3x)^{\bruch{1}{2}}, [/mm] wenn ich das jetzt richtig verstanden habe.
Gut aber ich weiß trotzdem nicht wie ich den bruch dann richig interieren tue.
wenn ich es richtig sehe hätte ich dann wieder:
[mm] \integral_{}^{}\bruch{3x^{2}}{\wurzel{x}}dx
[/mm]
das würde zu
[mm] 3\integral_{}^{}\bruch{x^{2}}{\wurzel{x}}dx
[/mm]
aber wie integrier ich das nu?
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Hallo Tobi,
> Ja der Nenner ist so wie in der Aufgabenstellung
Na, dann würde ich erstmal die Klammer zusammenrechnen:
[mm]\sqrt[4]{6x^2-3x^2}=\sqrt[4]{3x^2}=(3x^2)^{\frac{1}{4}}=3^{\frac{1}{4}}\cdot{}\sqrt{x}[/mm]
Damit wird aber das Integral doch kinderleicht, du brauchst keine Substitution und nix:
Du erhältst: [mm]\int{\frac{3x^2-4x}{\sqrt[4]{6x^2-3x^2}} \ dx}=\frac{1}{3^{\frac{1}{4}}}\cdot{}\int{\frac{\red{x}(3x-4)}{\red{\sqrt{x}}} \ dx}[/mm]
Nun kannst du [mm]\red{x}[/mm] mit [mm]\red{\sqrt{x}}[/mm] verrechnen ([mm]x=\sqrt{x}\cdot{}\sqrt{x}[/mm] ...). Dann fällt der Nenner weg.
Den Rest einfach ausmultiplizieren und blind integrieren mit der Potenzregel [mm]\int{x^r \ dx}=\frac{1}{r+1}\cdot{}x^{r+1}[/mm] für alle [mm]r\neq -1[/mm]
>
> Ok dann wäre der Nenner [mm](6x-3x)^{\bruch{1}{2}},[/mm] wenn ich
> das jetzt richtig verstanden habe.
>
> Gut aber ich weiß trotzdem nicht wie ich den bruch dann
> richig interieren tue.
Autsch!
>
> wenn ich es richtig sehe hätte ich dann wieder:
>
> [mm]\integral_{}^{}\bruch{3x^{2}}{\wurzel{x}}dx[/mm]
>
> das würde zu
>
> [mm]3\integral_{}^{}\bruch{x^{2}}{\wurzel{x}}dx[/mm]
>
> aber wie integrier ich das nu?
>
Das kannst du ebenfalls kürzen und dann mit der Potenzregel integrieren.
Aber ich sehe nicht, wie du vom Ausgangsintegral dorthin kommst ...
Aaah, du hast das Integral in die Summe zweier Integrale aufgeteilt.
Das geht natürlich auch, selbe Rechnung wie oben und Potenzregel anwenden.
Geht aber direkt kürzer und schneller 
Gruß
schachuzipus
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wäre meine lösung dann :
[mm] \bruch{1}{\wurzel[4]{3}}*\bruch{18}{5}x^{\bruch{5}{3}}-\bruch{14}{3}x^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Di 14.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo haxenpeter!
> [mm]\bruch{1}{\wurzel[4]{3}}*\bruch{18}{5}x^{\bruch{5}{3}}-\bruch{14}{3}x^{\bruch{3}{2}}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Wie kommst Du auf die Koeffizienten und wie auf den Exponenten des 1. Terms?
Gruß
Loddar
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[mm] \int{\frac{3x^2-4x}{\sqrt[4]{6x^2-3x^2}} \ dx}=\frac{1}{3^{\frac{1}{4}}}\cdot{}\int{\frac{\red{x}(3x-4)}{\red{\sqrt{x}}} \ dx}
[/mm]
wird zu
[mm] \int{\frac{3x^2-4x}{\sqrt[4]{6x^2-3x^2}} \ dx}=\frac{1}{3^{\frac{1}{4}}}\cdot{}\int{{\wurzel{x}(3x-4)} dx}
[/mm]
das ausgerechnet ergibt doch
[mm] -4x^{\bruch{1}{2}}+(3x*x^{\bruch{1}{2}})
[/mm]
-> [mm] -4x^{\bruch{1}{2}}+(3x^{\bruch{3}{2}})
[/mm]
oder ist da schon der fehler?
dann hab ich jeweils dür beide die produktregel benutzt
[mm] \bruch{1}{\wurzel[4]{3}} [/mm] kommt von dem vorher schon rausgezogenem
[mm] \cdot{}\bruch{18}{5} [/mm] kommt daher das ich die 3 damit multipliziert habe, hab aber einen fehler bemerkt, ich hab da statt 18, 17 raus
[mm] x^{\bruch{5}{3}} [/mm] ist bei mir auch 5/2
[mm] -\bruch{14}{3}x^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
das wäre mein ergebnis
[mm] \bruch{1}{\wurzel[4]{3}}\cdot{}\bruch{17}{5}x^{\bruch{5}{2}}-\bruch{14}{3}x^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
