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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Fr 28.03.2014 | | Autor: | Ice-Man |
| Aufgabe | Ein stetiger Wachstumsvorgang vollzieht sich nach der Bedingung f'(t)=0,04*f(t).
Zur Zeit t-0 waren 8200 Lebewesen vorhanden.
Wie groß ist die Anzahl nach 30 Zeiteinheiten, und wie groß ist dann die Wachstumsgeschwindigkeit? |
Hallo,
ich habe mal bitte eine Frage zu der genannten Aufgabe. Ich weis nicht ob mein Lösungsweg so richtig ist.
Zur Lösung des ersten Teils der Aufgabe hätte ich die Gleichung einfach integriert.
[mm] f=0,04t+\bruch{1}{2}t^{2}=0,04*30ZE+\bruch{1}{2}*(30ZE)^{2}
[/mm]
Und für die Wachstumsgeschwindigkeit würde ich jetzt einfach die gegebene Funktion verwenden. Denn dabei handelt es sich ja "um den Anstieg".
f'=0,04*f(t)=0,04*30ZE
Meine Frage wäre jetzt ob mein Vorgehen einigßermaßen richtig bzw. verständlich ist?
Über eure Hilfe und Antwort wäre ich sehr dankbar.
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> Ein stetiger Wachstumsvorgang vollzieht sich nach der
> Bedingung f'(t)=0,04*f(t).
> Zur Zeit t-0 waren 8200 Lebewesen vorhanden.
> Wie groß ist die Anzahl nach 30 Zeiteinheiten, und wie
> groß ist dann die Wachstumsgeschwindigkeit?
> Hallo,
>
> ich habe mal bitte eine Frage zu der genannten Aufgabe. Ich
> weis nicht ob mein Lösungsweg so richtig ist.
> Zur Lösung des ersten Teils der Aufgabe hätte ich die
> Gleichung einfach integriert.
>
> [mm]f=0,04t+\bruch{1}{2}t^{2}=0,04*30ZE+\bruch{1}{2}*(30ZE)^{2}[/mm]
Hallo,
bist Du nicht selbst etwas skeptisch?
Leite die Funktion [mm] f(t)=0,04t+\bruch{1}{2}t^{2} [/mm] mal ab.
Ist f'(t)=0.04*f(t) ? Nee, oder?
Mir ist nicht ganz klar, was Du da getan hast, als Du "die Gleichung integriert" hast...
Ich vermute, daß Dir im Unterricht etwas wesentliches entgangen ist:
gesucht ist eine Funktion f, deren Ableitung proportional zur Funktion ist.
Funktionen mit dieser Eigenschaft haben die Gestalt [mm] f(t)=C*e^{kt}.
[/mm]
Mit dieser Info solltest Du nochmal komplett neu überlegen und insbesondere auch einbauen, daß f(0)=8200.
LG Angela
>
> Und für die Wachstumsgeschwindigkeit würde ich jetzt
> einfach die gegebene Funktion verwenden. Denn dabei handelt
> es sich ja "um den Anstieg".
>
> f'=0,04*f(t)=0,04*30ZE
>
> Meine Frage wäre jetzt ob mein Vorgehen einigßermaßen
> richtig bzw. verständlich ist?
>
> Über eure Hilfe und Antwort wäre ich sehr dankbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Fr 28.03.2014 | | Autor: | Ice-Man |
Also müsste das dann so aussehen?
f'(t)=0,04*f(t)
[mm] \bruch{dy}{dt}=0,04*y
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{y}=0,04*dt
[/mm]
[mm] y(t)=C*e^{0,04*t}
[/mm]
y(0)=8200 -> C=8200
[mm] y(30)=8200*e^{0,04*30}=27225 [/mm] Individuen
Geschwindigkeit=0,04*30=1,2
Wäre das soweit jetzt korrekt?
Ich muss nämlich leider zu geben das ich mir bei der Geschwindigkeit nicht ganz sicher bin.
Im voraus noch einmal vielen dank.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Fr 28.03.2014 | | Autor: | Ice-Man |
Ich danke euch erst einmal für die Hilfe.
Aber ich hätte da aber bitte trotzdem nochmal eine Frage.
Wie lässt sich denn die Konstante C erklären? Bzw. woher weis ich das ich diese mit verwenden muss?
Und dann nochmal bitte was zur Geschwindigkeit. Ich muss dann also die integrierte Gleichung in die Ableitung einsetzen?
Also,
[mm] y=0,04*C*e^{0,04*t}=0,04*8200*e^{0,04*30}=1089
[/mm]
So?
Oder müsste ich einfach nur [mm] m=\bruch{\Delta y}{\Delta x} [/mm] rechnen? Denn es handelt sich ja um eine lineare Funktion. Nur da erhalte ich allerdings dann einen geringeren Zahlenwert von 634. Nur leider bin ich mir absolut nicht sicher was bzw. ob überhaupt ein Ansatz richtig ist. Vielleicht kann mir das ja jemand beantworten.
Ich sag einfach nochmal recht vielen dank im voraus für eure Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:40 Sa 29.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Ice-Man,
> Ich danke euch erst einmal für die Hilfe.
> Aber ich hätte da aber bitte trotzdem nochmal eine Frage.
> Wie lässt sich denn die Konstante C erklären? Bzw. woher
> weis ich das ich diese mit verwenden muss?
Ich probiere es mal für "Oberstufe (Klassen 11-13)" zu er-
klären. Falls etwas unklar ist, dann kannst du gerne nochmal
nachfragen.
Betrachte
$y'=y$.
Wir suchen nach einer Funktion $y$, [mm] x\in(a,b), [/mm] mit
$y'(x)=y(x)$ für alle [mm] x\in(a,b).
[/mm]
Das heißt aber, dass die Wachstumsrate
[mm] \frac{y'(x)}{y(x)} [/mm] konstant mit der "Zeit" $x$ ist $(=1)$.
Das wichtige ist hierbei, dass die Differentialgleichung
im Allgemeinen unendlich viele Lösungen besitzt. Die obige
[mm] y(x)=Ce^{x}.
[/mm]
Das kannst du sicher selbst zeigen. Hier nochmal die Probe:
[mm] y'(x)=(Ce^x)'=Ce^x=y(x).
[/mm]
Die Graphen der Lösungen auf der $(x,y)$-Ebene heißen Integral-
kurven. Im Normalfall geht durch jeden Punkt [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] der $(x,y)$-
Ebene genau eine Integralkurve. Im obigen Fall:
[mm] y_0=Ce^{x_0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow C=y_0e^{-x_0},
[/mm]
sodass die Lösungskurve durch [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] gegeben ist durch
[mm] $x,y_0e^{x-x_0}=(x,y(x))$.
[/mm]
> Und dann nochmal bitte was zur Geschwindigkeit. Ich muss
> dann also die integrierte Gleichung in die Ableitung
> einsetzen?
Nein. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Also,
>
> [mm]y=0,04*C*e^{0,04*t}=0,04*8200*e^{0,04*30}=1089[/mm]
>
> So?
Nein.
Leite deine "erhaltene Lösung" $y$ ab und berechne $y'(30)$.
Du kannst dir auch "merken", dass in solchen Aufgaben, in
der Regel, die erste Ableitung die Geschwindigkeit und die
zweite Ableitung die Beschleunigung ist (gleich kommen die
Physiker und machen mich fertig.  ).
> Oder müsste ich einfach nur [mm]m=\bruch{\Delta y}{\Delta x}[/mm]
> rechnen? Denn es handelt sich ja um eine lineare Funktion.
Die Exponentialfunktion ist keine lineare Funktion der Form
$f(x)=mx+n$ mit [mm] a,b\in\IR.
[/mm]
Die Steigung ist bei linearen Funktionen an jedem Punkt gleich.
Bei der Exponentialfunktion ist das nicht der Fall. Mach dir
das klar, denn das ist sehr wichtig. Zur Steigung betrachte
die Ableitung der Funktion an einer Stelle.
> Nur da erhalte ich allerdings dann einen geringeren
> Zahlenwert von 634. Nur leider bin ich mir absolut nicht
> sicher was bzw. ob überhaupt ein Ansatz richtig ist.
> Vielleicht kann mir das ja jemand beantworten.
> Ich sag einfach nochmal recht vielen dank im voraus für
> eure Hilfe.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:52 Sa 29.03.2014 | | Autor: | Ice-Man |
Also ich bin dir wirklich sehr dankbar für deine Hilfe. Ich muss auch ehrlich eingestehen das ich an die Ableitung schon gedacht habe, denn ich bin ja auch schon darauf hingewiesen wurden. Doch leider war ich mirunicht sicher.
Also wäre die Geschwindigkeit dann,
[mm] y=C*e^{0,04*t}
[/mm]
[mm] y'=e^{0,04*t}+(C*e^{0,04*t}*0,04)
[/mm]
[mm] y'(30)=e^{0,04*30}+(8200*e^{0,04*30}×0,04)=1092
[/mm]
?
Ich muss doch jetzt für "C" wieder 8200 einsetzen, oder? Denn die berechneten 27225 Lebewesen verwende ich ja nicht als Konstante, richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:36 Sa 29.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo nochmal,
> Also ich bin dir wirklich sehr dankbar für deine Hilfe.
> Ich muss auch ehrlich eingestehen das ich an die Ableitung
> schon gedacht habe, denn ich bin ja auch schon darauf
> hingewiesen wurden. Doch leider war ich mirunicht sicher.
>
> [mm]y=C*e^{0,04*t}[/mm]
> [mm]y'=e^{0,04*t}+(C*e^{0,04*t}*0,04)[/mm]
Nein, das ist falsch.
Du hast nach der Produktregel abgeleitet und nicht beachtet,
dass die Ableitung einer Konstanten nach einer Variable, die
natürlich ungleich der Konstanten sein muss, Null ist. Viel-
leicht direkt ein wenig formaler an folgendem Beispiel:
[mm] f(x):=\alpha [/mm] mit [mm] \alpha\in\IR [/mm] (Konstante Funktion)
[mm] $\Rightarrow [/mm] f'(x)=0$.
Nach der Produktregel müsstest du wie folgt ableiten:
[mm] y=C*e^{0,04*t}
[/mm]
[mm] \Rightarrow y'=0*e^{0,04*t}+C*0,04*e^{0,04*t}=C*0,04*e^{0,04*t}.
[/mm]
Das ist aber auch viel zu umständlich, denn wir haben auch
die Faktorregel zur Verfügung. Sei $g$ differenzierbar, dann
gilt für alle [mm] \alpha\in\IR:
[/mm]
[mm] f(x)=\alpha*g(x)
[/mm]
[mm] \Rightarrow f'(x)=(\alpha*g(x))'=\alpha*g'(x).
[/mm]
Bei dir folgt demnach sofort:
[mm] y=C*e^{0,04*t}
[/mm]
[mm] \Rightarrow y'=C*(e^{0,04*t})'=C*0,04*e^{0,04*t}.
[/mm]
> [mm]y'(30)=e^{0,04*30}+(27225*e^{0,04*30}×0,04)=3619[/mm]
Nein, das ist falsch.
> Oder muss ich für "C" doch wieder 8200 einsetzen?
Genau. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Du hast hier genau zwei Möglichkeiten. Die erste Möglichkeit:
[mm] y=C*e^{0,04*t}
[/mm]
[mm] \Rightarrow y'=C*0,04*e^{0,04*t}
[/mm]
[mm] \Rightarrow y'=8200*0,04*e^{0,04*t}
[/mm]
[mm] \Rightarrow y'(30)=\ldots
[/mm]
Die zweite Möglichkeit:
$C:=8200$
[mm] \Rightarrow y=8200*e^{0,04*t}
[/mm]
[mm] \Rightarrow y'=8200*0,04*e^{0,04*t}
[/mm]
[mm] \Rightarrow y'(30)=\ldots
[/mm]
Beide Wege führen zum gleichen Ziel. Vielleicht kannst du
mir sogar den Grund nennen?
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:39 Sa 29.03.2014 | | Autor: | Ice-Man |
Sorry, blöder Anfängerfehler von mir bei der Ableitung.
Ich schau deswegen jetzt gleich nochmal drüber. Aber ich bin dir jedenfalls für deine Hilfe zu dieser Uhrzeit mehr als dankbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:48 Sa 29.03.2014 | | Autor: | Ice-Man |
Ich muss jetzt leider eingestehen das ich da auf den ersten Blick keinen Unterschied sehe. Das kann aber auch daran liegen das es schon spät ist. Ich sehe nur das du einmal gleich die Konstante als Wert eingesetzt hast und einmal nur die Konstante als "Buchstaben" geschrieben hast
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:52 Sa 29.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Ich muss jetzt leider eingestehen das ich da auf den ersten
> Blick keinen Unterschied sehe. Das kann aber auch daran
> liegen das es schon spät ist. Ich sehe nur das du einmal
> gleich die Konstante als Wert eingesetzt hast und einmal
> nur die Konstante als "Buchstaben" geschrieben hast
Es macht halt keinen Unterschied ob du die Konstante von
Anfang an hinzufügt oder erst nachdem du abgeleitet hast.
Ich empfehle dir dennoch die Konstante von Anfang an hinzu-
zufügen, denn damit schreibst du auch insbesondere die
Lösung vom Anfangswertproblem auf.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:53 Sa 29.03.2014 | | Autor: | Ice-Man |
Und wie könnte ich das dann formulieren, die Geschwindigkeit beträgt ... Lebewesen pro Zeiteinheit?
Oder wäre das Unsinn?
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> Und wie könnte ich das dann formulieren, die
> Geschwindigkeit beträgt ... Lebewesen pro Zeiteinheit?
> Oder wäre das Unsinn?
Hallo,
das wäre kein Unsinn. Es ist völlig richtig.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:52 Sa 29.03.2014 | | Autor: | Ice-Man |
Na dann wäre das doch prinzipiell auch richtig. Ok, ich habe y und nicht y' geschrieben. Aber vom Zahlenwert stimmt es ja.
Hast du deswegen ein "falsch" vermerkt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:05 Sa 29.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Na dann wäre das doch prinzipiell auch richtig. Ok, ich
> habe y und nicht y' geschrieben. Aber vom Zahlenwert stimmt
> es ja.
> Hast du deswegen ein "falsch" vermerkt?
Ja, aber das war nicht der einzige Fehler. Du musst genau
schreiben was du ausrechnest, denn es gilt:
[mm] y\not=y'\not=y'(30).
[/mm]
Dafür gibt es immer böse Punktabzüge. Ehrlich gesagt habe
ich aus diesem Grund nach dem [mm] $y=\ldots$ [/mm] nicht mehr weiter-
gelesen. Ein weiterer Grund war übrigens auch deine eigene
Formulierung genau dadrüber:
> Ich muss dann also die integrierte Gleichung in die Ableitung einsetzen?
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:10 Sa 29.03.2014 | | Autor: | Ice-Man |
Ok, das war natürlich sehr irritierend von mir :).
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> Ein stetiger Wachstumsvorgang vollzieht sich nach der
> Bedingung f'(t)=0,04*f(t).
> Zur Zeit t-0 ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") waren 8200 Lebewesen vorhanden.
(gemeint war wahrscheinlich t=0)
> Wie groß ist die Anzahl nach 30 Zeiteinheiten, und wie
> groß ist dann die Wachstumsgeschwindigkeit?
Guten Tag
zur Aufgabenstellung möchte ich nur eine etwas
kritische Bemerkung machen.
Da ist von einem "stetigen" Wachstumsvorgang
die Rede, dessen beschreibende Funktion sogar
differenzierbar sein soll.
Bei den Funktionswerten handelt es sich aber
anscheinend um ganze Zahlen, nämlich um die
Zahl der Individuen zm Zeitpunkt t.
Das passt nicht zusammen.
Ich finde, dass da manche Aufgabensteller und
auch Lehrbuchautoren wohl etwas allzu lässig
umgehen mit einem wichtigen Begriff am Fundament
der Theorie (Infinitesimalrechnung), die sie
anwenden wollen.
Es sollte klargestellt werden, dass es sich bei der
Beschreibung durch eine differenzierbare Funktion
nur um eine grobe (aber nützliche) Approximation
handelt.
LG , Al-Chwarizmi
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