Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sei die folgende Funktion:
f(r):= [mm] \integral_{0}^{\pi}{ln(1-2r cos(t)+r^{2}) dt} [/mm] mit [mm] r\in(-1;1)
[/mm]
Zeigen Sie, dass f konstant ist, und berechnen Sie dazu f'(r).
|
Also ich hab erstmal abgeleitet (im Integral) und folgenden Ausdruck bekommen:
[mm] f'(r)=\int_{0}^{\pi}~(\frac{d}{dr}~ln(1-2r*cos(t)+r^{2}))~dt
[/mm]
[mm] =\int_{0}^{\pi}~\frac{2(cos(t)-r)}{2r*cos(t)-r^{2}-1}~dt
[/mm]
So, und hier steck ich nun und weiß nicht wie ich das ausrechnen soll.
Eine Umformung ist mir dann noch eingefallen, allerdings weiß ich nicht ob die mich hier weiterbringt:
[mm] =2\int_{0}^{\pi}~\frac{r-cos(t)}{(r-cos(t))^{2}+sin^{2}(t)}~dt
[/mm]
Kann mir jemand einen Tip geben wie ich hier vorgehen soll um das auszurechnen?
|
|
| |
|
Das scheint ja echt vertrackt. Schreibe
[mm]\frac{r - \cos{t}}{r^2 + 1 - 2r \cos{t}} \ \mathrm{d}t = \frac{1}{2r} \left( 1 + \frac{r^2 - 1}{r^2 + 1 - 2r \cos{t}} \right) \, \mathrm{d}t[/mm]
Beim zweiten Summanden der Klammer bringt dich die Substitution [mm]x = \frac{1 + r}{1 - r} \tan{\frac{t}{2}}[/mm] weiter. Für sie gilt:
[mm]\frac{(1 + r)^2 - (1 - r)^2 x^2}{(1 + r)^2 + (1 - r)^2 x^2} = \cos{t}[/mm] und [mm]\mathrm{d}t = \frac{2 (1 + r)(1 - r) }{(1 + r)^2 + (1 - r)^2 x^2} \, \mathrm{d}x[/mm]
Wenn du [mm]\cos{t}[/mm] und [mm]\mathrm{d}t[/mm] enstprechend ersetzt, kommst du bis auf konstante Faktoren auf [mm]\int~\frac{\mathrm{d}x}{1 + x^2}[/mm]. Einen eleganteren Zugang sehe ich im Moment nicht. Aber ich bin [mm]\mu[/mm]-fast sicher, daß es einen gibt ...
|
|
|
| |
|
Danke Leopold_Gast für deine Mühen!
Hut ab für diesen Weg, ich wär nie darauf gekommen! Ich bin beeindruckt!
Hab das jetzt nachgerechnet und Folgendes rausbekommen:
-2 [mm] \integral_{0}^{\pi}{\frac{1}{2r} \left( 1 + \frac{r^2 - 1}{r^2 + 1 - 2r \cos{t}} \right) \, \mathrm{d}t }=\bruch{-1}{r}\integral_{0}^{\pi}{ dt}+\bruch{2}{r}\integral_{}^{}{\bruch{dx}{x^{2}+1}} [/mm] die Grenzen weiß ich nicht...
das ergibt dann:
[mm] \bruch{-t}{r}+\bruch{2}{r}arctan(\bruch{1+r}{1-r}tan\bruch{t}{2}) [/mm] in den Grenzen von 0 bis pi.
[mm] =\bruch{-1}{r}(\pi+\limes_{n\rightarrow\pi}-2arctan(\bruch{1+r}{1-r}tan\bruch{n}{2})
[/mm]
als Lösung muss 0 rauskommen für r aus (-1;1). Das sagt auch Derive, aber wie kann man das zeigen?
Bzw. wie kann man zeigen, dass als Lösung von dem Grenzwert [mm] -\pi [/mm] rauskommt?
Kann mir da jemand einen Hinweis geben?
|
|
|
| |
|
Bei mir sieht das leicht anders aus:
[mm]\int_0^{\pi}~\frac{1}{2r} \left( 1 + \frac{r^2 - 1}{r^2 + 1 - 2r \cos{t}} \right)~\mathrm{d}t \ = \ \frac{1}{2r} \int_0^{\pi}~\mathrm{d}t \ + \int_0^{\pi}~\frac{1}{2r} \cdot \frac{r^2 - 1}{r^2 + 1 - 2r \cos{t}}~\mathrm{d}t[/mm]
Mit der von mir angegebenen Substitution [mm]x = \frac{1 + r}{1 - r} \cdot \tan{\frac{t}{2}}[/mm] geht die Grenze [mm]t=0[/mm] in die Grenze [mm]x=0[/mm] und die Grenze [mm]t = \pi - 0[/mm] in die Grenze [mm]x = \infty[/mm] über. Nach Umrechnung des Integranden auf die Variable [mm]x[/mm] erhält man:
[mm]\frac{\pi}{2r} + \int_0^{\infty}~- \frac{1}{r} \cdot \frac{1}{x^2 + 1}~\mathrm{d}x \ = \ \frac{\pi}{2r} - \frac{\pi}{2r} = 0[/mm]
Das Finden der Substitution war übrigens kein Geniestreich. Vielmehr habe ich die gängigen Techniken zur Lösung trigonometrischer Integrale verwendet und alle dabei vorkommenden Substitutionen zu einer einzigen zusammengefaßt. Also reine Fleißarbeit und keine geniale Intuition.
|
|
|
| |
|
Ja, du hast Recht, bei mir hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen.
Ich glaube, du hast ganz am Anfang vergessen die 2 mitzunehmen, für das ende macht das aber keinen Unterschied.
dann steht da: [mm] \frac{\pi}{r} [/mm] - [mm] \frac{\pi}{r} [/mm] = 0
Ich hätte noch eine letzte Bitte an dich Leopold_Gast:
Wenn du Zeit und Lust hast, könntest du mir vielleicht im Groben erläutern wie du auf die Substitutionen gekommen bist und was "die gängigen Techniken zur Lösung trigonometrischer Integrale" sind?
Und wie bist du auf die Grenzen gekommen? Das versteh ich auch noch nicht, wie man bei Substitutionen die Grenzen ändert.
Ich hab da noch einige Schwierigkeiten und würde das auch gerne jemand anderem erklären können.
|
|
|
| |
|
Ok, das mit den Grenzen hab ich jetzt verstanden, aber auf die Substitutionen komm ich einfach nicht...
Wie hast du das gemacht?
|
|
|
| |
|
Vielleicht schaust du einmal ![[]](/images/popup.gif) hier. Meine Substitution modifiziert das dort angegebene Verfahren.
|
|
|
| |
|
Danke nochmal Leopold_Gast, die Seite ist ja der Hammer! Hab das jetzt verstanden.
Du hast mir echt gut weitergeholfen!
MfG jentowncity
|
|
|
|
