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| Aufgabe | Berechnen sie folgendes Integral:
[mm] \integral_{}^{}{sin(ln(x))dx} [/mm] |
Also die Lösung solte sein: 1/2 x (sin (ln(x))-cos(ln(x)))+C
nun komm ich aber nicht auf dieses ergebnis!
Ich habe es so berechnet:
substitution: u=ln(x), dx=du*x
-> [mm] \integral_{}^{}{sin(u) *x du}
[/mm]
partielle integration: u`= sin(u), u=-cos(u)
v`=1 , v=x
-> [-cos(u)*x ]+ C [mm] -\integral_{}^{}{-cos(u)*1 }
[/mm]
= [-cos (u)*x]+C + sin(u)
Rücksubstitution:
[-cos(ln(x))*x] + sin ln(x)+C
wo ist mein Fehler? woher kommen die 1/2 x beider Lösung?
Vielen dank schon mal!
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Hi, Kai,
> Berechnen sie folgendes Integral:
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin(ln(x))dx}[/mm]
> Also die Lösung solte sein: 1/2 x (sin
> (ln(x))-cos(ln(x)))+C
>
> nun komm ich aber nicht auf dieses ergebnis!
> Ich habe es so berechnet:
>
> substitution: u=ln(x), dx=du*x
>
> -> [mm]\integral_{}^{}{sin(u) *x du}[/mm]
>
> partielle integration: u'= sin(u), u=-cos(u)
> v'=1 , v=x
Du kannst doch nicht mit 2 Variablen arbeiten:
x und u hängen doch voneinander ab!
u = ln(x) ergibt auch: x = [mm] e^{u}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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das würde j dann heisen, dass ich dann dies hier habe:
[mm] [-cos(u)*e^u] [/mm] + C - [mm] \integral_{}^{}{-cos (u) * e^u }
[/mm]
für x= [mm] e^u
[/mm]
aber damit komm ich nicht weter, da ich durch die partielle integration des hinteren integrals immer wieder zu einem neuen integral komme!
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Hallo Kai,
lass zunächst mal das $+C$ weg und ziehe das Minus aus dem Integral.
Dann mache eine zweite partielle Integration. Damit erhältst du wieder dein Ausgangsintegral [mm] $\int{\sin(u)e^{u}du}$
[/mm]
Dann stelle nach diesem Integral um und du bist nach Rücksubstitution am Ziel
Gruß
schachuzipus
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rstmal ielen dank für die Hilfe!
auf $ [mm] \int{\sin(u)e^{u}du} [/mm] $ bin ich nun gekommen!
Aber wie meinst du des mit umstellen?
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Jo hi nochmal,
ich schreib mal die Gleichungskette auf, die wir hier haben:
[mm] $\red{\int{\sin(u)e^{u}du}}=-\cos(u)e^{u}-\int{-\cos(u)e^{u}du}=-\cos(u)e^{u}+\int{\cos(u)e^{u}du}=-\cos(u)e^{u}+\sin(u)e^{u}\red{-\int{\sin(u)e^{u}du}}$
[/mm]
Nun [mm] $+\int{\sin(u)e^{u}du}$ [/mm] auf beiden Seiten:
[mm] $\Rightarrow 2\int{\sin(u)e^{u}du}=\sin(u)e^{u}-\cos(u)e^{u}\Rightarrow\int{\sin(u)e^{u}du}=\frac{1}{2}e^{u}(\sin(u)-\cos(u))$
[/mm]
Nun nur noch resubstituieren
Gruß
schachuzipus
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muss des nach dem letzten = nicht so heisen:
[mm] -cos(u)*e^u [/mm] + [mm] cos(u)*e^u [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{-sin(u)e^u dx}
[/mm]
und wie kommst du dann von dem integral auf die das danach stehened?
$ [mm] \Rightarrow 2\int{\sin(u)e^{u}du}=\sin(u)e^{u}-\cos(u)e^{u}\Rightarrow
[/mm]
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Hallo nochmal,
> muss des nach dem letzten = nicht so heisen:
>
> [mm]-cos(u)*e^u[/mm] + [mm]cos(u)*e^u[/mm] - [mm]\integral_{}^{}{-sin(u)e^u dx}[/mm]
Nein, das [mm] $-\cos(u)e^{u}$ [/mm] ist der Teil von der ersten partiellen Integration - den hattest du ja auch schon richtig.
Dann integriere ich das übrig gebliebene Integral [mm] $\int{\cos(u)e^{u}du}$ [/mm] nochmal partiell und erhalte [mm] $\sin(u)e^{u}-\int{\sin(u)e^{u}du}$
[/mm]
Das alles zusammengeschrieben ergibt:
[mm] $\int{\sin(u)e^{u}du}=-\cos(u)e^{u}+\sin(u)e^{u}-\int{\sin(u)e^{u}du}$
[/mm]
> und wie kommst du dann von dem integral auf die das danach
> stehened?
>
> $ [mm]\Rightarrow 2\int{\sin(u)e^{u}du}=\sin(u)e^{u}-\cos(u)e^{u}\Rightarrow[/mm]
>
[mm] $e^{u}$ [/mm] ausklammern und statt [mm] -\cos(u)+\sin(u) [/mm] schreibe ich [mm] $\sin(u)-\cos(u)$
[/mm]
Am Schluss durch 2 dividieren, dann hast du auf der rechten Seite einen geschlossenen Ausdruck für dein Integral.
Ok soweit?
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:02 Di 01.05.2007 | | Autor: | KaiTracid |
oh ja klar, dann hat sich grad auch meine letzte frage erübrigt! logisch! stand da wohl grad aufm schlauch!
Ja jetzt hab ichs soweit verstanden! Vielen Dank!
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mal noch ne frage wie man die 2 vor dem integral reinzieht:
wenn eine zahl vor dem integral steht, wie hier nun, zieh ich die dann immer so rein, dass ich dann
1 / durch die zahl
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Hallo Kai,
die 2 ist ja nicht reingezogen:
Sind wir uns hierüber einig? Nach 2facher partieller Integration haben wir:
[mm] $\int{\sin(u)e^{u}du}=-\cos(u)e^{u}+\sin(u)e^{u}-\int{\sin(u)e^{u}du} [/mm] $
In dieser Gleichung addieren wir auf beiden Seiten [mm] $\int{\sin(u)e^{u}du}$ [/mm] und erhalten [mm] $2\cdot{}\int{\sin(u)e^{u}du}=-\cos(u)e^{u}+\sin(u)e^{u}$
[/mm]
Die rechte Seite formen wir schön um [mm] (e^{u} [/mm] ausklammern und Sin und Cos kommutativ vertauschen) und erhalten:
[mm] $2\cdot{}\int{\sin(u)e^{u}du}=e^{u}\cdot{}\left(\sin(u)-\cos(u)\right)$
[/mm]
Hier beide Seiten der Gleichung durch 2 dividieren ergibt also
[mm] $\int{\sin(u)e^{u}du}=\frac{1}{2}e^{u}\left(\sin(u)-\cos(u)\right)$
[/mm]
Hoffe, das ist nun klar ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Falls nicht, frag bitte nach!!
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 Di 01.05.2007 | | Autor: | KaiTracid |
oh ja klar! logisch!
Jetzt hab ichs verstanden!
Hatte auch nicht daran gedacht gehabt,auch mal was auf die andere seite zu bringen!
Danke schön!
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hab jetzt noch ein weiteres Integral zu berechnen wo ich grad wieder nicht weiter komm!
[mm] \integral_{0}^{\pi/3}{x^{2}*sin(x) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\pi/3}{x^{2}*sin(x) dx}= [/mm] sin(x)*1/3 [mm] x^{3}+\integral_{0}^{\pi/3}{1/3x^{3}cos(x) dx}=sin(x)1/3^{3}-x^2+cos(x)-\integral_{0}^{\pi/3}{x^2*(-sin(x)) dx}
[/mm]
überseh ich grad schon wieder was oder irgednwei falsch gerechnet?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Di 01.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kai!
Du musst hier bei der 2-fachen Anwendung der partiellen Integration andersrum setzen:
$u \ := \ [mm] x^2$ $\Rightarrow$ [/mm] $u' \ = \ 2x$
$v' \ = \ [mm] \sin(x)$ $\Rightarrow$ [/mm] $v \ = \ [mm] -\cos(x)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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ok,
dann bekomm ich das hier raus:
[mm] \integral_{0}^{\pi/3}{sin(x) * x^{2} dx}=x^{2}*(-cos(x))-\integral_{0}^{\pi/3}{-cos(x)*2x dx}=x²(-cos(x))-(-sin(x))2x-\integral_{0}^{\pi/3}{-2sin(x) dx}
[/mm]
(für u'=-cos (x) -> u = -sin(x) und v=2x -> v'=2)
aber wie dann weiter?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Di 01.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kai!
Du machst einen kleinen Vorzeichenfehler vor dem letzten Integral.Und asnchließend braucht du doch nur das Integral [mm] $\integral{2*\sin(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] 2*\integral{\sin(x) \ dx}$ [/mm] lösen und die entsprechenden Grenzen einsetzen.
[mm]\integral{x^2*\sin(x) \ dx}= \ ... \ = \ -x^2*\cos(x)-2x*(-\sin(x)) \ \red{+} \ \integral{-2*\sin(x) dx}[/mm]
Gruß
Loddar
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wieso muss des + sein an der stelle?
man rechnet doch immer - integral von ...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Di 01.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kai!
Damit hast du ja Recht, aber es steht ja vor dem Ganzen noch ein Minuszeichen (aus der ersten partiellen Integration).
Leichter wird es, wenn Du vor der 2. partiellen Integration erst zusammenfasst:
[mm] $\integral{x^2*\sin(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] x^2*[-\cos(x)]-\integral{2x*[-\cos(x)] \ dx} [/mm] \ = \ [mm] -x^2*\cos(x)+2*\integral{x*\cos(x) \ dx} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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...= -x²cos(x) + 2(sin(x)*x) - [mm] \integral_{0}^{\pi/3}{sin(x) dx}
[/mm]
=-x²cos(x) + 2x(sin(x)) + cos(x)
stimmt des dann jetzt so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Di 01.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kai!
Wenn du jetzt vor dem letzten Term noch den Faktor $2_$ hinzufügst, stimmt es:
$...= [mm] -x²*\cos(x) [/mm] + [mm] 2*(\sin(x)*x) [/mm] - [mm] \red{2}*\integral{\sin(x) dx}$
[/mm]
[mm] $=-x²*\cos(x) [/mm] + [mm] 2x*\sin(x) [/mm] + [mm] \red{2}*\cos(x)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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