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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:36 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Ridvo |
| Aufgabe | Eine Rutschbahn soll wie ein Stück des Graphen einer Polynomdivision dritten Grades verlaufen. Sie soll in A(0/4)und in B(6/0) enden, jeweils mit der Steigung null.
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung des Polynoms. Aus Sicherheitsgründen soll an keiner Stelle der Rutschbahn die Steigung betragsmäßig größer als 1 sein.
Ist dieses der Fall? |
Hey du, danke für dein Interesse an meiner Aufgabe.
Ich schreibe am Dienstag eine Klausur und brauche ein wenig Hilfe in Bezug auf meine Übungsaufgabe.
Meine Idee:
- allgm. Formel eines Polynoms: [mm] y=ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
- f'(x)<1; Steiung der Rutschbahn weniger als 1
Nun eingesetzt:
A(0/4): 4=0*a+0*b+0*c+d ---> d=4
B(6/0): [mm] 0=6^3*a+6^2*b+6*c+d [/mm] ---> c=0
Steiung der Punkte ist null, demnach:
[mm] m_A=0
[/mm]
[mm] 0=3*a*0^2+2*b*0+c
[/mm]
[mm] m_B=0
[/mm]
[mm] 0=3*a*6^2+2*b*6+c
[/mm]
Ok nun weiß ich nicht mehr weiter.
Wie errechne ich nun a und b, um die Gleichung aufzustellen?
Wann kann ich denn sagen, dass die Steigung der Rutschbahn den Wert 1 nicht überschreitet?
Wie mache ich das?
Ich danke im voraus.
Lg Ridvan
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Hi, Ridvo,
> Eine Rutschbahn soll wie ein Stück des Graphen einer
> Polynomdivision dritten Grades verlaufen.
Du meinst sicher "Polynomfunktion".
> Sie soll in A(0/4)und in B(6/0) enden, jeweils mit der Steigung null.
> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung des Polynoms. Aus
> Sicherheitsgründen soll an keiner Stelle der Rutschbahn die
> Steigung betragsmäßig größer als 1 sein.
> Ist dieses der Fall?
> Hey du, danke für dein Interesse an meiner Aufgabe.
>
> Meine Idee:
>
> - allgm. Formel eines Polynoms: [mm]y=ax^3+bx^2+cx+d[/mm]
> - f'(x)<1; Steiung der Rutschbahn weniger als 1
Das brauchst Du erst, wenn Du den Funktionsterm ermittelt hast!
(Dazu schon mal: Am steilsten ist der Graph im Wendepunkt und der liegt bei einer Fkt. 3.Grades "genau in der Mitte" zwischen den beiden Extrempunkten. Letztere sind bei Dir zufälligerweise vorgegeben; also liegt der Wendepunkt bei x=3. Du musst also am Schluss nur noch schauen, ob |f'(3)| [mm] \le [/mm] 1 ist.)
> Nun eingesetzt:
>
> A(0/4): 4=0*a+0*b+0*c+d ---> d=4
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> B(6/0): [mm]0=6^3*a+6^2*b+6*c+d[/mm] ---> c=0
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
216a + 36b + 6c + 4 = 0 (I)
Da kannst Du kaum auf c=0 schließen!
> Steiung der Punkte ist null, demnach:
>
> [mm]m_A=0[/mm]
> [mm]0=3*a*0^2+2*b*0+c[/mm]
HIERaus aber ergibt sich tatsächlich c=0. Hattest Du Dich nur verschrieben?
> [mm]m_B=0[/mm]
> [mm]0=3*a*6^2+2*b*6+c[/mm]
Naja, mit c=0 also: 108a + 12b = 0 (II)
Formen wir die beiden Gleichungen (I) und (II) erst mal ein wenig um:
(I) 216a + 36b + 6c + 4 = 0
mit c=0 ergibt sich:
216a + 36b + 4 = 0 |:4 <=> 54a + 9b + 1 = 0
(II) 108a + 12 b = 0 |:12 <=> 9a + b = 0.
Nun kannst Du z.B. die (II) nach b auflösen und in (I) einsetzen; dann kriegst Du schon mal a. Naja: Und b ist dann auch kein Problem mehr!
> Wann kann ich denn sagen, dass die Steigung der Rutschbahn
> den Wert 1 nicht überschreitet?
> Wie mache ich das?
Siehe meine obige Bemerkung!
Ach ja: "nicht überschreitet" heißt, dass diese Steigung durchaus gleich 1 sein darf; es muss nicht kleiner als 1 sein!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 So 09.12.2007 | | Autor: | Ridvo |
Hey, danke für deine Hilfe.
Es ist richtig, dass ich mich verschrieben habe.
Es heißt Polynomfunktion und nicht wie ich geschrieben hab Polynomdivision.
Auch das ist leider in die falsche Zeile geschrieben worden:
'216a + 36b + 6c + 4 = 0 (I)
Da kannst Du kaum auf c=0 schließen! '
Mir ist einiges aber immernoch unklar.
Wie kannst du anhand der Zeichnung den Wendepunkt ablesen?
Das ist mir leider unklar....
Ansonsten denke ich es verstanden zu haben.
LG Ridvan
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Hallo Ridvo!
> Wie kannst du anhand der Zeichnung den Wendepunkt ablesen?
Das hat er doch geschrieben: bei einer Funktion dritten Grades liegt der Wendepunkt genau in der Mitte zwischen den beiden Extrempunkten. Aber du kannst den Wendepunkt ja auch einfach berechnen: da, wo die zweite Ableitung =0 und die dritte [mm] \not= [/mm] 0 ist.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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