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Hallihallo!
Ich soll dieses Integral [mm] \integral{\bruch{lnx}{x+1}dx } [/mm] lösen, aber ich komme nicht darauf. Ich schon vieles ausprobiert durch Substitution und partielle Zerlegung.
Dabei komme ich auf [mm] lnx*ln(x+1)-lnxln(x+1)+\integral{ \bruch{lnx}{x+1} dx}.
[/mm]
Danke für eure Aufmerksamkeit im vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 Do 10.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Da steht:
[mm] \red{\integral{\bruch{lnx}{x+1}dx}}=lnx\cdot{}ln(x+1)-lnxln(x+1)\red{-\integral{\bruch{lnx}{x+1}dx}}, [/mm] richtig?
[mm] \red{\integral{\bruch{lnx}{x+1}dx}}=lnx\cdot{}ln(x+1)-lnxln(x+1)\red{-\integral{\bruch{lnx}{x+1}dx}},
[/mm]
[mm] \gdw 2\red{\integral{\bruch{lnx}{x+1}dx}}=lnx\cdot{}ln(x+1)-lnxln(x+1)
[/mm]
[mm] \gdw \integral{\bruch{lnx}{x+1}dx}=\bruch{lnx\cdot{}ln(x+1)-lnxln(x+1)}{2}
[/mm]
Dieses Phänomen tritt bei partieller Integration öfter auf, dass man nach zweifacher Anwendung wieder auf das Startintegral kommt, dann funktioniert dieser "Trick"
Marius
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Aber wenn man von dieser Funktion [mm] \bruch{lnxln(x+1-lnxln(x+1)}{2} [/mm] Ableitung bildet, dann erhält man 0
[mm] \bruch{ln(x+1)}{2x} +\bruch{lnx}{2(x+1)}-\bruch{ln(x+1)}{2x}-\bruch{lnx}{2(x+1)}
[/mm]
Man kriegt mittels der partiellen Intergration doch
[mm] lnx*ln(x+1)-(lnx*ln(x+1)-\integral{\bruch{lnx}{x+1}dx}) [/mm] heraus
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Ich wollte nur mal schnell zeigen, was Maple dazu ausgibt:
[mm] \integral{\bruch{ln(x)}{x+1} dx}
[/mm]
= dilog(x+1) + ln(x) * ln(x+1),
wobei
dilog(x) := [mm] \sum_{k = 1}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k^{2}}.
[/mm]
Scheint also kein "normales" Integral zu sein... Vielleicht Taylor-Approximation oder so...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:24 Fr 11.01.2008 | | Autor: | Adamantin |
Kann dem nur zustimmen, nachdem ich selbst die Produktintegration ausprobiert habe und gescheitert bin, habe ich mein Programm bemüht, dass freundlicherweise folgendes ausspuckt:
Funktion zu komplex, nicht symbolisch integrierbar ! *gg*
Ich fürchte, da wollte dich jemand ärgern :p
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Fr 11.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
was Marius dir gezeigt hat, ist in der Tat eine wichtige Methode bei der Integration.
In diesem Fall aber gegenstandslos, denn die rechte Seite ist dort gleich Null.
Das ist eindeutig keine Stammfunktion dieser Funktion.
Und eine geschlossene integralfreie Darstellung der korrekten Lösung dürfte es hier auch nicht geben.
LG
Will
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 00:12 Fr 11.01.2008 | | Autor: | Adamantin |
Leider ist hier ein Vorzeichenfehler!
$ [mm] \red{\integral{\bruch{lnx}{x+1}dx}}=lnx\cdot{}ln(x+1)-lnxln(x+1)\red{+\integral{\bruch{lnx}{x+1}dx}}, [/mm] $
Die zweifache Integration ergibt für das zweite Integral ein +, damit würde bei der Subtraktion das Integral auf der linken Seite wegfallen! Daher sehe ich im Moment keine Möglichkeit zur Lösung...
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Dilogarithmus