matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenIntegrationIntegral
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Integration" - Integral
Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:45 Fr 29.02.2008
Autor: lotusbluete

Aufgabe
[mm] \integral{\bruch{dx}{x^{4}-16}} [/mm]

Ich bin absolut überfordert mit dieser Aufgabe. Aus der Formelsammlung weiss ich wie die Lösung aussehen muss. Ich komme aber noch nicht einmal in diese Richtung.
Ich habe x²=z substituiert. Aber dann komme ich schon nicht mehr weiter.
[mm] \integral{\bruch{dz}{(z²-16)\wurzel{z}}} [/mm]
Kann mir bitte jemand helfen?

        
Bezug
Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:30 Fr 29.02.2008
Autor: crashby

Hey,

> [mm]\integral{\bruch{dx}{x^{4}-16}}[/mm]

Zerlege den Nenner in Linearfaktoren.

$= [mm] \int{\frac{dx}{(x-4)\cdot(x+4)}} [/mm] $

Und jetzt hilft dir die Partialbruchzerlegung weiter.

lg George

Bezug
                
Bezug
Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:32 Fr 29.02.2008
Autor: lotusbluete

Das kann nicht stimmen.

Bezug
                        
Bezug
Integral: upps
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:35 Fr 29.02.2008
Autor: crashby

ahh ja hast Recht.....ich hab mit [mm] x^2 [/mm] gerechnet moment ich guck nochmal :)

lg

Bezug
                        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:49 Fr 29.02.2008
Autor: koepper

Hallo lotusbluete,

kombiniere einfach Susann's Linearfaktorzerlegung mit George's Vorschlag, eine Partialbruchzerlegung durchzuführen:

[mm] $\frac{1}{x^4 - 16} [/mm] = [mm] \frac{1}{(x-2)(x+2)(x^2+4)} [/mm] = [mm] \frac{A}{x-2} [/mm] + [mm] \frac{B}{x+2} [/mm] + [mm] \frac{Cx + D}{x^2+4}$ [/mm]

Die rechte Seite auf den linken Nenner bringen und dann im Zähler die Koeffizienten vergleichen. Daraus ergibt sich ein LGS, dessen Lösungen dir die Werte für A, B, C, D liefern. (Es gibt da auch noch einen einfacheren Weg, aber diesen solltest du zuerst können ;-) )
Die ersten beiden Summanden sind dann leicht integrierbar, für den dritten verwende nach einer geeigneten Substitution den arctan.

LG
Will

PS: Zur Kontrolle: Die 4 Variablen haben bis auf das Vorzeichen die Werte 0, 1/8 und 1/32



Bezug
        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:35 Fr 29.02.2008
Autor: grrmpf

Hallo,

also mein Lösungsvoschlag wäre, den Ausdruck [mm] x^{4}+16 [/mm] zuerst in [mm] (x^{2}+4)(x^{2}-4) [/mm] und dann in [mm] (x-2)(x+2)(x^{2}+4) [/mm] zu zerlegen. (eventuell ist die zweite Zerlegung auch schon unnütz). Und dann das ganze mit partieller Integration zu zerkleinern. Ob das wirklich zum Ziel führt, weiß ich nicht so recht, aber ich denke, es ist wert, probiert zu werden.

Gruß, Susann

Bezug
                
Bezug
Integral: ja genau
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:40 Fr 29.02.2008
Autor: crashby

Hallo, ja so dürfte es gehen.

Man hat dann

$ [mm] \int {\frac{1}{(x-2)\cdot(x+2)\cdot(x^2+4)}} [/mm] $

Dennoch kann man jetzt hier Partialbruchzerlegung verwenden aber ein langes rechnen bleibt es doch.

lg

Bezug
        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:30 Fr 29.02.2008
Autor: Marcel

Hallo,

wie bereits angedeutet kannst Du so anfangen:
[mm] $x^4-16=(x+2)*(x-2)*(x^2+4)$ [/mm]

Daraus folgt:
[mm] $\frac{1}{x^4-16}=\frac{1}{(x+2)(x-2)(x^2+4)}$ [/mm]

Wenn man sich das nun anguckt, so bekommt man vielleicht die Idee:
[mm] $\frac{1}{x^4-16}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x^2+4}$ [/mm]

Das führt zu:
[mm] $1=A(x-2)(x^2+4)+B(x+2)(x^2+4)+C(x^2-4)$ [/mm]

[mm] $\gdw 1=Ax^3+4Ax-2Ax^2-8A+Bx^3+4Bx+2Bx^2+8B+Cx^2-4C$ [/mm]

[mm] $\gdw 0=x^3(A+B)+x^2(2B-2A+C)+x(4A+4B)+(8B-1-8A-4C)$ [/mm]

Daraus erhält man drei Gleichungen:
$A+B=0$, $2B-2A+C=0$ und
$-8A+8B-4C-1=0$, und damit:

$B=-A$, $C=4A$ und daher $-8A-8A-16A-1=0 [mm] \gdw A=-\frac{1}{32}$, [/mm] und damit:

[mm] $A=-\frac{1}{32}$, $B=\frac{1}{32}$ [/mm] und [mm] $C=-\frac{1}{8}$. [/mm]

Damit:
[mm] $\int{\frac{1}{x^4-16}dx}=-\frac{1}{32}\int{\frac{1}{x+2}dx}+\frac{1}{32}\int{\frac{1}{x-2}dx}+\frac{1}{8}\int{\frac{1}{x^2+4}dx}$ [/mm]

Das letzte Integral rechterhand kann man evtl. analog durch einen Ausflug ins Komplexe lösen [mm] ($x^2+4=(x+2i)(x-2i)$) [/mm] (wobei ich das noch nicht gerechnet habe, daher ist das eher als Vermutung anzusehen) oder mit dem Wissen, dass

[mm] $\frac{d}{dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^2}$, [/mm] wenn man (in [mm] $\int{\frac{1}{x^2+4}dx}$) [/mm] z.B. $x=2y$ substituiert.

P.S.:
Ich habe gerade erst Koeppers Antwort gesehen. Formal hat er natürlich Recht, dass dort, wo ich "nur" $C$ schreibe, eigentlich $Cx+d$ stehen sollte, aber glücklicherweise ist das hier nicht relevant, da das $C$ bei $Cx+d$ von Koepper den Wert $0$ hat. Da habe ich etwas geschlampt, glücklicherweise hat das aber "zufällig" hier keine Auswirkung ;-)

Gruß,
Marcel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]