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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:45 So 09.03.2008 | | Autor: | masa-ru |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{cos^3(x)}{1-sin(x)} dx} [/mm] ; Substitution: t = sin(x) |
hier ist eine Subst. vorgegeben jedoch komme ich nicht weiter...
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{cos^3(x)}{1-sin(x)} dx} [/mm] ; Substitution.: t = sin(x) => $dx [mm] =\bruch{dt}{cos(x)}$
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{cos^{3}(x)}{1-sin(x)} \bruch{dt}{cos(x)}} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{cos^{\red{2}}(x)}{1-sin(x)} dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos^{\red{2}}(x) *\bruch{1}{1-sin(x)} dt}
[/mm]
cos kann man auch ausmultipl. [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos(x)*cos(x) *\bruch{1}{1-sin(x)} dt}
[/mm]
aber irgendwie bring das mir alles nichts, jemand einen Vorschlag ?
mfg
masa
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Hallo masa-ru,
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{cos^3(x)}{1-sin(x)} dx}[/mm]
> ; Substitution: t = sin(x)
> hier ist eine Subst. vorgegeben jedoch komme ich nicht
> weiter...
>
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{cos^3(x)}{1-sin(x)} dx}[/mm]
> ; Substitution.: t = sin(x) => [mm]dx =\bruch{dt}{cos(x)}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Du musst auch die Grenzen mitsubstituieren ODER du bestimmst zuerst das unbestimmte Integral, resubstituierst dann und verwendest die alten Grenzen
"alte" untere Grenze: [mm] $x=0\Rightarrow [/mm] $ "neue" Grenze: [mm] $t=\sin(0)=0$
[/mm]
"alte" obere Grenze: [mm] $x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow$ [/mm] "neue" obere Grenze: [mm] $t=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$
[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{cos^{3}(x)}{1-sin(x)} \bruch{dt}{cos(x)}}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{cos^{\red{2}}(x)}{1-sin(x)} dt}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos^{\red{2}}(x) *\bruch{1}{1-sin(x)} dt}[/mm]
>
> cos kann man auch ausmultipl.
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos(x)*cos(x) *\bruch{1}{1-sin(x)} dt}[/mm]
Bis auf die Grenzen stimmt das soweit, nun benutze, dass [mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ [/mm] ist, also [mm] $\cos^2(x)=1-\sin^2(x)$
[/mm]
Dann setze dein substituiertes [mm] $t=\sin(x)$ [/mm] ein
Also [mm] $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos^3(x)}{1-\sin(x)} \ dx}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1-t^2}{1-t} \ dt}$
[/mm]
Nun schaue mal auf den Zähler... das wird ein ganz einfaches Integral...
>
> aber irgendwie bring das mir alles nichts, jemand einen
> Vorschlag ?
>
> mfg
> masa
LG
schachuzipus
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzi,
>
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{cos^{3}(x)}{1-\red{t}} \bruch{dt}{cos(x)}}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{cos^{\blue{2}}(x)}{1-\red{t}} dt}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos^{\blue{2}}(x) \cdot{}\bruch{1}{1-\red{t}} dt}[/mm]
>
> hab die subst. nicht reingesetzt ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Sorry 
Kein Ding 
>
> > [..] [mm]\sin^2(x)+\cos^2(x)=1[/mm] ist, also [mm]\cos^2(x)=1-\sin^2(x)[/mm]
>
>
> [mm]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos^{\red{2}}(x)}{1-\sin(x)} \ dx}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1-t^2}{1-t} \ dt} =\int\limits_{0}^{1}{\frac{(1-t)(1+t)}{1-t} \ dt} = \int\limits_{0}^{1}{(1+t) \ dt}[/mm]
> [mm]=[t+\bruch{t^2}{2} ]_0^{1} [/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> [mm]=[sin(x)+\bruch{sin^2(x)}{2} ]_0^{1}[/mm]
Wenn du hier resubstituierst, musst du auch die Grenzen wieder resubstituieren!
Du hast ja hier die Grenzen in t, setze sie einfach ein:
[mm] $=[t+\bruch{t^2}{2} ]_0^{1}=1+\frac{1^2}{2}-(0+\frac{0^2}{2})=\frac{3}{2}$ [/mm] und fertig ist die Laube
> = [mm]sin(1)+\bruch{sin^2(1)}{2}[/mm] wegen [mm]sin(0)=0[/mm]
>
> kann das hinhauen ?
>
> habe den Integral durch Software gejagt ergebnis war :
> [mm]\bruch{-1}{4}cos(2x)+sin(x)[/mm]
> nun ist das ergebnis der Software : [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
ja [mm] \frac{3}{2} [/mm] stimmt !
>
> Die macht sich selbständig :-(
>
>
>
> das mit den Grenzen und subst. ist überhaupt nicht mein
> ding...
>
> > Du musst auch die Grenzen mitsubstituieren ODER du
> bestimmst zuerst das unbestimmte Integral, resubstituierst
> dann und verwendest die alten Grenzen
>
> > "alte" untere Grenze: [mm]x=0\Rightarrow[/mm] "neue" Grenze:
> [mm]t=\sin(0)=0[/mm]
>
> > "alte" obere Grenze: [mm]x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow[/mm] "neue"
> obere Grenze: [mm]t=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1[/mm]
>
> also wenn ich substituiert habe "jage" ich die alten
> grenzen durch die Substitution und erhalte meinen "neue"
> grenze ?
Wenn du die Grenzen "mitschleppst", dann musst du sie mit substituieren, die alten Grenzen sind ja in x ausgedrückt, du musst alles in t ausdrücken
Also aus unterer Grenze x=0 wird mit [mm] t=\sin(x): t=\sin(0)=0
[/mm]
Alternativ kannst du alles ohne Grenzen berechnen. Dann bekommst du eine Stammfunktion heraus in der neuen Variable t.
Die musst du dann resubstituieren und setzt ganz am Schluss die Grenzen ein.
Also entweder der Weg wie oben, alles in t ausdrücken und die "neuen" Grenzen (also die in t ausgedrückten) einsetzen
ODER unbestimmt ohne Grenzen:
[mm] $\int{\frac{\cos^3(x)}{1-\sin(x)} \ dx}=...=\int{(1+t) \ dt}=t+\frac{t^2}{2}+C$
[/mm]
Das dann resubstituieren [mm] (t=\sin(x)):
[/mm]
[mm] $=\sin(x)+\frac{\sin^2(x)}{2}+C$
[/mm]
Hier nun die alten Grenzen einsetzen: untere:0 [mm] obere:\frac{\pi}{2}
[/mm]
$--> [mm] \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)+\frac{\sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right)}{2}+C-\left[\sin(0)+\frac{sin^2(0)}{2}+C\right]=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)+\frac{\sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right)}{2}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:07 So 09.03.2008 | | Autor: | masa-ru |
hab schon gedacht dass $ [mm] =[sin(x)+\bruch{sin^2(x)}{2} ]_0^{1} [/mm] $ falsch ist.
Also wenn ich neue grenzen in t habe, diese bei der Subst. berücksichtigt habe darf ich keine resubstitution durchführen. habs verstanden!
Danke schachuzipus!
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