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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Mo 02.06.2008 | | Autor: | damien23 |
| Aufgabe | Seien a,b [mm] \in \IC [/mm] r >0 mit |a| < r < |b|. Berechne
[mm] \integral_{\gamma 0,r}^{}{\bruch{1}{(z-a)*(z-b)} dz} [/mm] |
Hey,
ich habe mir bis jetzt folgendes überlegt:
Ich würde es mit Partialbruchzerlegung lösen
[mm] \integral_{\gamma 0,r}^{}{\bruch{1}{(z-a)*(z-b)} dz}= \integral_{\gamma 0,r}^{}{\bruch{1}{(b-a)}} [/mm] * [mm] ({\bruch{-1}{(z-a)}} [/mm] + [mm] {\bruch{1}{(z-b)})}{dz} [/mm]
Nun muss ich ja die Stammfunktion und die Windungszahl bestimmen, wie mache ich dies?
MfG
Damien
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> Seien a,b [mm]\in \IC[/mm] r >0 mit |a| < r < |b|. Berechne
>
> [mm]\integral_{\gamma 0,r}^{}{\bruch{1}{(z-a)*(z-b)} dz}[/mm]
> Hey,
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> ich habe mir bis jetzt folgendes überlegt:
>
> Ich würde es mit Partialbruchzerlegung lösen
>
> [mm]\integral_{\gamma 0,r}^{}{\bruch{1}{(z-a)*(z-b)} dz}= \integral_{\gamma 0,r}^{}{\bruch{1}{(b-a)}} * ({\bruch{-1}{(z-a)}} + {\bruch{1}{(z-b)})}{dz}[/mm]
Dies ist schon mal gut.
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> Nun muss ich ja die Stammfunktion
> und die Windungszahl
> bestimmen, wie mache ich dies?
Die Windungszahl [mm] $n(\gamma, z_0)$ [/mm] für einen Punkt [mm] $z_0$, [/mm] der sich (wie $a$, wegen $|a|<r$) im Innern des Kreises [mm] $\gamma(0,r)$ [/mm] befindet, ist doch sicher gleich 1, nicht? Und die Windungszahl für einen Punkt, der sich (wie $b$, wegen $r<|b|$) ausserhalb des Kreises [mm] $\gamma(0,r)$ [/mm] befindet, ist gleich 0.
Die Berechnung Deines Integrals kannst Du nun also direkt auf die Beziehung
[mm]\oint\limits_\gamma \frac{dz}{z-z_0}=2\pi\mathrm{i}\cdot n(\gamma,z_0)[/mm]
zurückführen.
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