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Integral: lösung korrekt ?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:16 Mi 24.09.2008
Autor: phil974

Aufgabe
Gegebenes Integral:


[mm] \integral_{1}^{2}{\wurzel{x} ln x dx} [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.  

Rechenweg:

-partielle Integration

u' (x) = [mm] \wurzel{x} [/mm]

v  (x) = ln x


[mm] \integral_{1}^{2} {\wurzel{x} ln x dx} [/mm]

= - [ [mm] \bruch{2}{3} x^{\bruch{3}{2}} [/mm] ln x ] - [mm] \integral_{1}^{2}{ \bruch{2}{3} \wurzel{x} dx} [/mm]


weil ich angenommen habe, dass sich [mm] \integral_{1}^{2}{ \bruch{2}{3} \wurzel{x} dx} [/mm] aus folgendem ergibt:

[mm] \integral_{1}^{2}{ \bruch{2}{3} x^{\bruch{3}{2}} * \bruch{1}{x} dx} [/mm]

wird zu:

[mm] \integral_{1}^{2}{ \bruch{2}{3} x^{\bruch{3}{2} - 1} dx} [/mm]

[mm] \integral_{1}^{2}{ \bruch{2}{3} \wurzel{x} dx} [/mm]


als endergebnis komme ich auf:

[mm] \wurzel{8} [/mm] ( - 6/9 ln 2 - 4/9 ) + 4/9    =     - 2 /9 [mm] \wurzel{8} [/mm] ( 3 ln 2 - 2 ) + 4/9

korrekt ?



        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:29 Mi 24.09.2008
Autor: schachuzipus

Hallo phil974,



> Gegebenes Integral:
>  
>
> [mm]\integral_{1}^{2}{\wurzel{x} ln x dx}[/mm]
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Rechenweg:
>  
> -partielle Integration [ok] gute Idee!
>  
> u' (x) = [mm]\wurzel{x}[/mm]
>  
> v  (x) = ln x
>  
>
> [mm]\integral_{1}^{2} {\wurzel{x} ln x dx}[/mm]
>  
> = - [ [mm]\bruch{2}{3} x^{\bruch{3}{2}}[/mm] ln x ] -  [mm]\integral_{1}^{2}{ \bruch{2}{3} \wurzel{x} dx}[/mm]

bis auf das allererste Minuszeichen ist das richtig!

>  
>
> weil ich angenommen habe, dass sich [mm]\integral_{1}^{2}{ \bruch{2}{3} \wurzel{x} dx}[/mm]
> aus folgendem ergibt:
>  
> [mm]\integral_{1}^{2}{ \bruch{2}{3} x^{\bruch{3}{2}} * \bruch{1}{x} dx}[/mm]
>  
> wird zu:
>  
> [mm]\integral_{1}^{2}{ \bruch{2}{3} x^{\bruch{3}{2} - 1} dx}[/mm]
>  
> [mm]\integral_{1}^{2}{ \bruch{2}{3} \wurzel{x} dx}[/mm] [daumenhoch]

>  
>
> als endergebnis komme ich auf:
>  
> [mm]\wurzel{8}[/mm] ( - 6/9 ln 2 - 4/9 ) + 4/9    =     - 2 /9
> [mm]\wurzel{8}[/mm] ( 3 ln 2 - 2 ) + 4/9
>  
> korrekt ?

Puh, das ist kaum zu entziffern, ich gklaube aber, es stimmt nicht ganz:

Du hattest (das letzte Integral mal explizit mit ausgerechnet bzw. hingeschrieben und ohne den VZF) als Stammfunktion

[mm] $\left[\frac{2}{3}\cdot{}x^{\frac{3}{2}}\cdot{}\ln(x)-\frac{4}{9}\cdot{}x^{\frac{3}{2}}\right]_1^2$ [/mm]

[mm] $=\left[\frac{2}{3}\cdot{}x^{\frac{3}{2}}\cdot{}\left(\ln(x)-\frac{2}{3}\right)\right]_{\green{1}}^{\blue{2}}$ [/mm]

[mm] $=\red{\left(}\frac{2}{3}\cdot{}\blue{2}^{\frac{3}{2}}\cdot{}\left(\ln(\blue{2})-\frac{2}{3}\right)\red{\right)} [/mm] \ - \ [mm] \red{\left(}\frac{2}{3}\cdot{}\green{1}^{\frac{3}{2}}\cdot{}\left(\underbrace{\ln(\green{1})}_{=0}-\frac{2}{3}\right)\red{\right)}$ [/mm]

[mm] $=\frac{4}{3}\cdot{}\ln(2)\cdot{}\sqrt{2}-\frac{8}{9}\cdot{}\sqrt{2}+\frac{4}{9}$ [/mm]

denn [mm] $2^{\frac{3}{2}}=2^{\frac{2}{2}+\frac{1}{2}}=2^1\cdot{}2^{\frac{1}{2}}=2\cdot{}\sqrt{2}$ [/mm]



LG

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:52 Do 25.09.2008
Autor: phil974

hups, natuerlich kein minus vor dem ersten teil der partiellen integration.

hab es eben nochmal nachgerechent, komme nun auch auf das etwas ansehnlichere ergebnis *g*

danke

Bezug
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