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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 Di 09.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] f(t)=2t*e^{-0.02*t^{2}}
[/mm]
a)Bestimmen Sie mithilfe eines geeigneten Integrationsverfahrens ein Stammfunktion von f. (Zur Kontrolle: [mm] F(t)=-50*e^{-0.02*t^{2}})
[/mm]
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Hallo^^
Ich beschäftige mich jetzt seit einiger Zeit mit dieser Aufgabe und hab es mit Produktintegration versucht,aber die bringt mich einfach nicht weiter.
Ich weiß nicht,welches Verfahren ich hier sonst anwenden soll.
Ist Produktintegration das richtige Verfahren für diese Aufgabe oder ist ein anderes Verfahren besser?
vielen dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Di 09.12.2008 | | Autor: | Dath |
Hast du schon mal den Begriff Substitution in Bezug auf Integralrechnung gehabt?
Hier schreit [mm]t^{2}[/mm] förmlich danach, substituiert zu werden!
Viele Grüße,
Dath
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | a) Bestimmen Sie rechnerisch die lokalen Extremstellen und Wendestellen von f.
b)Für [mm] 0\le [/mm] t [mm] \le15 [/mm] beschreibt [mm] f(t)=2t*e^{-0.02*t^{2}} [/mm] modellhaft die momentane Sauerstoffproduktion einer Buche an einem Sommertag mit 15 Stunden Sonnenscheindauer ab dem Sonnenaufgang (t =0), wobei man t in Stunden und f(t) in [mm] m^{3} [/mm] pro Stunde angibt.
Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von f in diesem Sachzusammenhang unter Verwendung der Ergebnisse von a)
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> Hast du schon mal den Begriff Substitution in Bezug auf
> Integralrechnung gehabt?
>
> Hier schreit [mm]t^{2}[/mm] förmlich danach, substituiert zu
> werden!
Achso,vielen dank,jetzt klappts auch =)
Ich hab jetzt noch 2 Teilaufgaben zu dieser Aufgabe gemacht,weiß nicht ob die so stimmen.
a)Ich hab raus: H(5/6) T(-5/-6) und W(0/0) W(8.66/3.86) W(-8.66/-3.86)
b) Also ich würde den Graphen in diesem Sachzusammenahng so beschreiben,dass bei Sonnenaufgang überhaupt kein Sauerstoff produziert wird,nach 5 Stunden produziert die Buche am meisten Suaerstoff,also [mm] 6m^{3} [/mm] und über den hanzen Tag hin sinkt die Sauerstoffproduktion immer mehr ab.Und der Wendepunkt sagt ja,dass bei t=0,also wo noch keine Zeit vergangen ist,auch kein Sauerstoff produziert wird.
Würde das so als Erklärung genügen im Abitur oder wäre das zu wenig?
vielen dank
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:06 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> a) Bestimmen Sie rechnerisch die lokalen Extremstellen und
> Wendestellen von f.
>
> b)Für [mm]0\le[/mm] t [mm]\le15[/mm] beschreibt [mm]f(t)=2t*e^{-0.02*t^{2}}[/mm]
> modellhaft die momentane Sauerstoffproduktion einer Buche
> an einem Sommertag mit 15 Stunden Sonnenscheindauer ab dem
> Sonnenaufgang (t =0), wobei man t in Stunden und f(t) in
> [mm]m^{3}[/mm] pro Stunde angibt.
> Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von f in diesem
> Sachzusammenhang unter Verwendung der Ergebnisse von a)
>
> > Hast du schon mal den Begriff Substitution in Bezug auf
> > Integralrechnung gehabt?
> >
> > Hier schreit [mm]t^{2}[/mm] förmlich danach, substituiert zu
> > werden!
>
> Achso,vielen dank,jetzt klappts auch =)
>
> Ich hab jetzt noch 2 Teilaufgaben zu dieser Aufgabe
> gemacht,weiß nicht ob die so stimmen.
>
> a)Ich hab raus: H(5/6) T(-5/-6) und W(0/0) W(8.66/3.86)
> W(-8.66/-3.86)
sieht gut aus, die Werte H, T und W(0/0) stimmen 100% kann ich an der Zeichnung ablesen, daher werden auch die zwei anderen Stimmen, kommt jedenfalls hin ;)
> b) Also ich würde den Graphen in diesem Sachzusammenahng so
> beschreiben,dass bei Sonnenaufgang überhaupt kein
> Sauerstoff produziert wird,nach 5 Stunden produziert die
> Buche am meisten Suaerstoff,also [mm]6m^{3}[/mm] und über den hanzen
> Tag hin sinkt die Sauerstoffproduktion immer mehr ab.Und
> der Wendepunkt sagt ja,dass bei t=0,also wo noch keine Zeit
> vergangen ist,auch kein Sauerstoff produziert wird.
Achtung! Du sollst den Graphen von 0 bis 15 betrachten und interpretieren! Du hast zwar recht, dass f(0)=0 ist, aber der Graph steigt doch sprunghaft an. Schon bei 0,001 produziert der Baum Sauerstoff! Statt das Maximum so nebenbei zu erwähnen, solltest du lieber beschreiben, dass der Baum ab dem Startpunkt 0/0 kontinuierlich Suaerstoff produziert und zwar ansteigend! Er erreicht dabei gegen 5 Uhr sein Maximum. Danach sinkt die Sauerstoffproduktion wieder ab, wobei man feststellen kann, dass dies langsamer geschieht als die anfängliche Steigung von 0 bis 5. Der Baum senkt die Produktion zwar auch kontinuierlich, aber langsamer und erreicht erst ab ca. 17-18 Uhr eine nahezu erliegende Produktion.
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> Würde das so als Erklärung genügen im Abitur oder wäre das
> zu wenig?
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> vielen dank
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> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von der t-Achse, dem Graphen von f und der Geraden mit t = 10 eingeschlossen wird.
Interpretieren Sie den berechneten Flächeninhalt in diesem Sachzusammenhang.
Bestimmen Sie, wie viele Sonnenstunden vergangen sind, bis die Buche insgesamt [mm] 20m^{3} [/mm] Sauerstoff produziert hat. |
So,ich hab jetzt Teilaufgabe c) gemacht,hab da ein kleines Problem,also die Stammfunktion hab ich ja schon [mm] F(x)=-50*e^{-0.02*t^{2}}.
[/mm]
Der hier gesuchte Flächeninhalt beträgt -6.766...Ich versteh nicht,warum das eine negative Zahl ist,die Fläche liegt doch über der t-Achse und ich versteh auch nicht wie das zum Sachzusammenhang passen soll,ich mein der Baum kann ja nicht weniger als [mm] 0m^{3} [/mm] Sauerstoff produzieren ???
Wäre sehr dankbar für eure Hilfe
lg
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Also der angegebene Flächeninhalt stimmt mit Sicherheit nicht, der richtige Wert liegt bei 43.
Da du die Stammfunktion schon hast, die wohl richtig sein soll und du von der y-Achse bis zur Stelle x/t=10 berechnen sollst, ist das doch gerade von 0 bis 10. Setze diese Zahlen einfach in deine Stammfunktion ein und du kommst auch auf 43,...
Woher also die -6 kommen, weiß ich nicht aber der Flächeninhalt muss, logischerweise, positiv sein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
hmm,ich hab meinen Fehler gefunden,ich hatte die 0 nicht eingesetzt,weil ich gedacht hab da kommt eh 0 raus,aber das geht ja gar nicht.
Zum zweiten Teil der Aufgabe muss man doch folgendes berechnen
[mm] \integral_{0}^{t}{f(x) dx}=20 [/mm] und dann t bestimmen.
[mm] -50*e^{-0.02*t^{2}}+50=20
[/mm]
[mm] -50*e^{-0.02*t^{2}}=-30
[/mm]
[mm] \bruch{1}{0.02t^{2}}=ln(\bruch{3}{5})
[/mm]
[mm] -100=t^{2}
[/mm]
das geht doch gar nicht,zumindest nicht in den rellen Zahlen.
Was hab ich denn hier falsch gemacht?
lg
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> hmm,ich hab meinen Fehler gefunden,ich hatte die 0 nicht
> eingesetzt,weil ich gedacht hab da kommt eh 0 raus,aber das
> geht ja gar nicht.
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> Zum zweiten Teil der Aufgabe muss man doch folgendes
> berechnen
>
> [mm]\integral_{0}^{t}{f(x) dx}=20[/mm] und dann t bestimmen.
>
> [mm]-50*e^{-0.02*t^{2}}+50=20[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (arbeite noch dran)
> [mm]-50*e^{-0.02*t^{2}}=-30[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{0.02t^{2}}=ln(\bruch{3}{5})[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") wie kommst du auf 1 durch ?? Wenn du durch -50 teilst, steht dort anschließend nur noch [mm] e^x. [/mm] Den ln darauf angewendet liefert x, also würde [mm] -0.02t^2=ln(3/5) [/mm] herauskommen ;)
> [mm]-100=t^{2}[/mm]
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> das geht doch gar nicht,zumindest nicht in den rellen
> Zahlen.
> Was hab ich denn hier falsch gemacht?
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Eine Funktion g soll nun die momentane Sauerstoffproduktion in [mm] m^{3} [/mm] pro Stunde an einem sonnigen Herbsttag beschreiben.
Die Sonnenscheindauer beträgt 12 Stunden und die Intensität der auf die Blätter treffenden Strahlung ist geringer als an einem Sommertag. Damit verbunden ist eine geringere Sauerstoffproduktion. Das Maximum wird nach 4 Stunden (t = 4) erreicht, also 4 Stunden nach Sonnenaufgang t=0) .
Begründen Sie, wie man den Funktionsterm von f verändern kann, damit man den Term einer möglichen Funktion g erhält. |
Achso,danke,ich dachte wegen dem Minus im Exponenten,dass man irgendwie was mit 1/ rechnen muss,aber anscheinend ist es nicht so =)
Jetzt hab ich hier noch die letzte Teilaufgabe zu dieser Aufgabe.
Also 4 soll ja hier Maximum sein,gibts bei solchen Aufgaben eine Vorgehensweise oder muss ich einfahc mal ausprobieren,wie's passt,ich mein es ist schon kompliziert eine Funktion aus f zu machen die ihr Maximum bei 4 hat.Eigentlich muss ich ja nur was am 2t verändern weil wenn ich was am e verändere,verläuft doch die Kurve ganz anders oder?Aber wie soll ich das denn verändern?
lg
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> Eine Funktion g soll nun die momentane Sauerstoffproduktion
> in [mm]m^{3}[/mm] pro Stunde an einem sonnigen Herbsttag
> beschreiben.
> Die Sonnenscheindauer beträgt 12 Stunden und die
> Intensität der auf die Blätter treffenden Strahlung ist
> geringer als an einem Sommertag. Damit verbunden ist eine
> geringere Sauerstoffproduktion. Das Maximum wird nach 4
> Stunden (t = 4) erreicht, also 4 Stunden nach Sonnenaufgang
> t=0) .
> Begründen Sie, wie man den Funktionsterm von f verändern
> kann, damit man den Term einer möglichen Funktion g
> erhält.
> Achso,danke,ich dachte wegen dem Minus im Exponenten,dass
> man irgendwie was mit 1/ rechnen muss,aber anscheinend ist
> es nicht so =)
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> Jetzt hab ich hier noch die letzte Teilaufgabe zu dieser
> Aufgabe.
> Also 4 soll ja hier Maximum sein,gibts bei solchen
> Aufgaben eine Vorgehensweise oder muss ich einfahc mal
> ausprobieren,wie's passt,ich mein es ist schon kompliziert
> eine Funktion aus f zu machen die ihr Maximum bei 4
> hat.Eigentlich muss ich ja nur was am 2t verändern weil
> wenn ich was am e verändere,verläuft doch die Kurve ganz
> anders oder?Aber wie soll ich das denn verändern?
>
> lg
Also diese Aufgabe hat es tatsächlich in sich, wobei ich aber glaube, dass du keine fertige Funktion g(x) präsentieren sollst, damit wird es leichter.
Deine Überlegungen sind sehr gut und stimmig. Eine Veränderung des Grades würde zu einer ganz anderen Funktion führen, daher lassen wir die Funktion mit x und [mm] e^{x^2} [/mm] so wie sie ist. Damit haben wir noch zwei Ansatzstellen: 2ax oder [mm] -0.02ax^2
[/mm]
Da die -0.02 jedoch offenbar eine sehr empfindliche Größe ist, scheint die 2x vor dem e besser geeignet. Ich habe eben mal schnell die Parameter durch mein Programm gejagt und wie begründet liefert ein Parameter vor 0.02 eine zu große Veränderung. Möglich aber nicht wirklich berechenbar. Mit 2ax jedoch funktioniert das Ganze gut.
Ich würde für diesen Teil Vorschlagen:
Lege deine Erklärungen dar, so wie du es oben getan hast. Am besten erklärt man dies, indem man sagt, das ein Vorfaktor jeweils nur eine Veränderung der Steigung bewirkt, wohingegen eine Veränderung am x oder am e eine ganz andere Kurve zur Folge haben kann. Ferner würde ich vorschlagen, ein oder zwei ausgewähle Graphen der Form 2ax zu zeichnen, also z.B. nur x oder 4x etc. Damit man eine solide Basis für die Argumentation hat.
Man kann zwar erwähnen, dass die Bedingung f'(4)=0 sein muss, aber rechnerisch kommt man damit nicht sehr weit, da man nicht weiß, welchen y-Wert die Funktion am Hochpunkt annimmt H(4/y), denn ich denke mal, der lautet nicht wieder 6. Außerdem weiß man zwar ungefähr die Dauer der Sonneneinstrahlung mit 12, aber das heißt ja nicht automatisch, dass dort die Funktion 0 sein muss, von daher würde ich vom Rechnen hier absehen..
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
ok,vielen dank für deine Hilfe =)
Mir ist grad noch ein Gedanke gekommen,in der Aufgabe steht ja "Die Sonnenscheindauer beträgt 12 Stunden und die Intensität der auf die Blätter treffenden Strahlung ist geringer als an einem Sommertag. Damit verbunden ist eine geringere Sauerstoffproduktion."
Ich hab mir mal die Graphen von [mm] x*e^{-0.02*x^{2}} [/mm] und von [mm] 3x*e^{-0.02*x^{2}} [/mm] angeschaut und gesehen,dass die Fläche unter dem Graphen von [mm] x*e^{-0.02*x^{2}} [/mm] kleiner ist als die unter dem Graphen von [mm] 3x*e^{-0.02*x^{2}},das [/mm] heitß doch,dass bei x*e.... weniger Sauerstoff produziert wird,als bei 3x*e... und bei 2x*e... und genau das steht ja in der Aufgabe.
Wäre das so eine angemessene Begründung?
lg
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Na sicher, das habe ich doch oben gesagt ^^
Wenn das Maximum tiefer liegt und bei t=4 statt t=6 MUSS die Fläche von g(t) doch kleiner sein ;) Da die Kurve ansonsten genauso verläuft wie für f(t) (von der Art her und dem langsamen Abfall) geht es nach dem Maximum auch wieder runter. Also muss g(t) doch signifikant weniger Sauerstoff produzieren als f(t) :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
dann is ja gut,nochmal vielen dank für deine Hilfe =)
lg
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