Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 So 11.01.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{3}{x^3 \wurzel{9-x^2} dx} [/mm] |
Hallo,
hat jemand ne Idee? Ich habs mit Partieller Integration probiert.
[mm] x^3 [/mm] = u' gesetzt und den Wurzelterm v.
Nur da drehe ich im Kreis...
Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Danke und Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 So 11.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bodo!
Substituiere $u \ := \ [mm] 9-x^2$ [/mm] .
Bedenke, dass damit auch gilt: [mm] $x^2 [/mm] \ = \ 9-u$ .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 So 11.01.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
also hätte ich da,
[mm] \integral_{0}^{3}{x^3\wurzel{x^2} dx}
[/mm]
wenn ich [mm] 9-x^2=:u \gdw x^2=9-u [/mm] subst.
Kann ich damit einfach jetzt weiterrechnen? Ich kann doch jetzt mit Partieller Integration weitermachen oder?
Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo, jetzt hast du aber den Zauberstab rausgeholt,
[mm] u:=9-x^{2}
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}=-2x
[/mm]
[mm] dx=\bruch{du}{-2x}
[/mm]
jetzt einsetzen
[mm] \integral_{0}^{3}{x^{3}*\wurzel{u}\bruch{du}{-2x} }
[/mm]
- ziehe jetzt den Faktor [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] vor das Integral
- kürze
- verwende den Hinweis von Loddar
- dann kannst du schön zwei Summanden integrieren
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 So 11.01.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
danke erstmal. Wohl nicht genau überlegt... 
Also hätte ich da
[mm] -\frac{1}{2}\integral_{0}^{3}{x^2\wurzel{u} du} [/mm]
So und Loddar sagte, dass ich dann [mm] x^2=9-u [/mm] verwenden kann...
also einsetzen.
[mm] -\frac{1}{2}\integral_{0}^{3}{(9-u) \wurzel{u} du} [/mm]
So ist aber jetzt richtig, oder?
Kann ich dass jetzt so machen
[mm] -\frac{1}{2}\integral_{0}^{3}{(9-u) du} [/mm] * [mm] -\frac{1}{2}\integral_{0}^{3}{\wurzel{u} du} [/mm]
Ich glaube ich müsste die Grenzen auch noch neu bestimmen...
Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo Bodo,
> Hallo,
>
> danke erstmal. Wohl nicht genau überlegt...
>
> Also hätte ich da
>
> [mm]-\frac{1}{2}\integral_{0}^{3}{x^2\wurzel{u} du}[/mm]
>
> So und Loddar sagte, dass ich dann [mm]x^2=9-u[/mm] verwenden
> kann...
> also einsetzen.
>
> [mm]-\frac{1}{2}\integral_{0}^{3}{(9-u) \wurzel{u} du}[/mm]
>
> So ist aber jetzt richtig, oder?
>
> Kann ich dass jetzt so machen
>
> [mm]-\frac{1}{2}\integral_{0}^{3}{(9-u) du}[/mm] * [mm]-\frac{1}{2}\integral_{0}^{3}{\wurzel{u} du}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Gott bewahre, auf keinen Fall!!!
Integrale sind additiv aber nicht multiplikativ, multipliziere zuerst die Klammer aus, dann kannst du additiv aufspalten, wenn du willst
$-\frac{1}{2}\integral{(9-u) \wurzel{u} \ du}=-\frac{1}{2}\integral{(9\sqrt{u}-u\sqrt{u}) \ du}=-\frac{1}{2}\left[\integral{9u^{\frac{1}{2}} \ du \ - \int{u^{\frac{3}{2}} \ du}\right]$
>
> Ich glaube ich müsste die Grenzen auch noch neu
> bestimmen...
Ja, das solltest du tun, oder du berechnest das unbestimmte Integral in der Variablen u und resubstituiert am Ende wieder in x, dann kannst du die "alten" Grenzen hernehmen
>
> Grüße
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
ich habe nun:
-0.5 [mm] \integral_{0}^{3}{(9*\wurzel{u} du - \wurzel{u}u du)}
[/mm]
= -0.5 [mm] \integral_{0}^{3}{(\frac{2}{3}9u*u^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}u^\frac{3}{2}} *\frac{1}{2}u^2)
[/mm]
Mathematisch unkorrekt, ich weiß, dass integral gehört da nicht hin...
Meint ihr dass jetzt so?
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> ich habe nun:
>
>
> -0.5 [mm]\integral_{0}^{3}{(9*\wurzel{u} du - \wurzel{u}u du)}[/mm]
>
> = -0.5 [mm]\integral_{0}^{3}{(\frac{2}{3}9u*u^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}u^\frac{3}{2} *\frac{1}{2}u^2)[/mm]
>
> Mathematisch unkorrekt, ich weiß, dass integral gehört da
> nicht hin...
Hallo,
und warum läßt Du es dann dort stehen? Kapiere ich nicht...
> Meint ihr dass jetzt so?
Meinst Du das so:
> -0.5 [mm]\integral_{0}^{3}{(9*\wurzel{u} du - \wurzel{u}u du)}[/mm]
>
= [mm] -0.5[\frac{2}{3}9u*u^{\frac{3}{2}} [/mm] - [mm] \frac{2}{3}u^\frac{3}{2}*\frac{1}{2}u^2]_0^3?
[/mm]
Daß [mm] \frac{2}{3}u^\frac{3}{2}*\frac{1}{2}u^2 [/mm] nicht die Stammfunktion von [mm] \wurzel{u}u [/mm] ist, merkst Du, wenn Du das mal ableitest.
1. Die Stammfunktion von Produkten findest Du nicht, indem Du einfach die Stammfunktionen der Faktoren multiplizierst. (Stichwort:partielle Integration)
2. Dir würde die Sache vermutlich leichter fallen, schriebest Du [mm] \wurzel{u}u [/mm] als Potenz von u.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Also,
[mm] -0,5\integral_{0}^{3}{(9u^{0.5} - u^{1.5} )du}
[/mm]
Jetzt kann ich ja Partielle Integration machen.
u' = 9
u= 9u
v= [mm] u^{0.5}
[/mm]
v'= [mm] 0.5u^{-0.5}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{u'*v}= [/mm] u*v - [mm] \integral_{}^{}{u*v'}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{3}{9*u^{0.5}}=9u*u^{0.5}|_{0}^{3} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{3}{9u*0.5u^{-0.5}} [/mm]
und jetzt von dem letzten Integral noch PI, oder?
von [mm] u^{1.5}du [/mm] kann ich ja einfach integrieren: 0.4 [mm] u^{2.5}
[/mm]
stimmts? Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 Mo 12.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Also,
>
> [mm]-0,5\integral_{0}^{3}{(9u^{0.5} - u^{1.5} )du}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Jetzt kann ich ja Partielle Integration machen.
Wozu? Hier hast du eine Summe mit Summanden der Form [mm] g(x)=x^{p}, [/mm] diese haben doch als Stammfunktion [mm] G(x)=\bruch{1}{p+1}*x^{p+1}
[/mm]
Also:
[mm] -0,5\integral_{0}^{3}{(9u^{0.5} - u^{1.5} )du}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{2}\left[\integral_{0}^{3}9u^{0.5}du-\integral_{0}^{3}u^{1.5}du\right]
[/mm]
[mm] =\ldots
[/mm]
>
> u' = 9
> u= 9u
>
> v= [mm]u^{0.5}[/mm]
> v'= [mm]0.5u^{-0.5}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{u'*v}=[/mm] u*v - [mm]\integral_{}^{}{u*v'}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{3}{9*u^{0.5}}=9u*u^{0.5}|_{0}^{3}[/mm] -
> [mm]\integral_{0}^{3}{9u*0.5u^{-0.5}}[/mm]
>
> und jetzt von dem letzten Integral noch PI, oder?
>
> von [mm]u^{1.5}du[/mm] kann ich ja einfach integrieren: 0.4 [mm]u^{2.5}[/mm]
>
> stimmts? Grüße
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
ich habe:
-0.5 [mm] \integral_{0}^{3}{(9u^{0.5} -u^{1.5})du}
[/mm]
[mm] -0.5(6u^{1.5}|_{0}{9}{} [/mm] - [mm] 0.4x^{2.5}|_{0}{9}{})=32.4
[/mm]
mit Grenzen:
u(0)=9
u(3)=0
Richtig?
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bodo!
Dein Endergebnis ist richtig.
> -0.5 [mm]\integral_{0}^{3}{(9u^{0.5} -u^{1.5})du}[/mm]
Hier musst Du aber bereits die neuen Grenzen hinschreiben.
> [mm]-0.5(6u^{1.5}|_{0}{9}{}[/mm] - [mm]0.4x^{2.5}|_{0}{9}{})=32.4[/mm]
Und hier müüssen die beiden Grenzen vertauscht werden. Das Integral geht von [mm] $u_1 [/mm] \ = \ 9$ bis [mm] $u_2 [/mm] \ = \ 0$ (ansonsten stimmt auch Dein Vorzeichen des Ergebnisses nicht).
Gruß
Loddar
|
|
|
|
