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Hallo zusammen!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wir beschäftigen uns im Studium gerade mit der Standard-Normalverteilung und ich muss folgendes Integral lösen:
[mm] \integral_{s}^{\infty}x{\phi(x) dx},
[/mm]
wobei [mm] \phi(x) [/mm] die Dichtefunktion der Standard-Normalverteilung ist. Mit partieller Integration komme ich da irgendwie nicht weiter. Bemerkt habe ich auch noch, dass wenn [mm] s=-\infty [/mm] wäre das Integral der Erwartungswert der Standard-Normalverteilung, also 0. Aber wie mir das weiterhelfen soll, weiß ich nicht.
Hoffe jemand kann mir helfen!
Grüße, Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:13 Mo 09.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Was genau ist jetzt [mm] $\phi(x)$? [/mm] Etwa [mm] $\phi(x)=1/\sqrt{2\pi}\cdot\exp(-x^2/2)$? [/mm] Das ist doch banal: Eine Stammfunktion von [mm] $xe^{-x^2}$ [/mm] ist [mm] $0.5e^{-x^2}$, [/mm] jetzt bastel das ein bischen zurecht...
Gruß, Robert
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Oh mann, manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht!
Demnach bekomme ich
[mm] \integral_{s}^{\infty}{x\phi(x) dx}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}[-\frac{1}{2}e^{-\frac{x^2}{2}}]_s^{\infty}=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}[-1+e^{-\frac{s^2}{2}}]=-\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}+\frac{1}{2}\phi(s).
[/mm]
Oder kann man das noch weiter umformen?
Auf jeden Fall vielen Dank! Vielleicht sollte ich mir nächstes mal etwas mehr Zeit zum nachdenken geben.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:57 Mo 09.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> Demnach bekomme ich
> [mm]\integral_{s}^{\infty}{x\phi(x) dx}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}[-\frac{1}{2}e^{-\frac{x^2}{2}}]_s^{\infty}=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}[-1+e^{-\frac{s^2}{2}}][/mm]
Wie kommst du da auf die -1? [mm] $\lim_{s\to\infty}e^{-s^2/2}=0$
[/mm]
Gruß, Robert
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Besser ich wäre heute nicht aufgestanden. Also habe ich als Ergebnis
[mm] \frac{1}{2}\phi(s)?
[/mm]
Gruß Steffi
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Hallo!
> Besser ich wäre heute nicht aufgestanden. Also habe ich
> als Ergebnis
>
> [mm]\frac{1}{2}\phi(s)?[/mm]
Das richtige Ergebnis wäre [mm] \phi(s). [/mm] Das hängt aber damit zusammen, dass schon beim vorherigen Post
[mm] $\integral_{s}^{\infty}{x*\phi(x) dx} [/mm] = [mm] [-\phi(x)]_{s}^{\infty}$
[/mm]
sein müsste, da Robert dir das Integral für [mm] x*e^{-x^{2}} [/mm] gesagt hat nicht für [mm] x*e^{-x^{2}/2}.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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