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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 Fr 27.11.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
[mm] \integral e^x [/mm] * sin (x) dx
Wie sehe ich nun ob ich
f = [mm] e^x [/mm] g' = sin (x)
f' = [mm] e^x [/mm] g = - cos(x)
oder
f = sin (x) g' = [mm] e^x [/mm]
f' = cos (x) g = [mm] e^x [/mm]
nehmen soll?
= sin (x) * [mm] e^x [/mm] - [mm] \integral [/mm] (sin (x) * [mm] e^x [/mm]
Stimmt das im Integral oder habe ich gerade das falsche genommen?
Danke
gruss Dinker
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Hallo
die Variante spielt bei dieser Aufgabe eigentlich keine Rolle, nehme ich die 1. Variante
[mm] \integral_{}^{}{e^{x}*sin(x) dx}=-e^{x}*cos(x)+\integral_{}^{}{e^{x}*cos(x) dx}
[/mm]
jetzt machst du mit [mm] \integral_{}^{}{e^{x}*cos(x) dx} [/mm] erneut partielle Integration
[mm] \integral_{}^{}{e^{x}*sin(x) dx}=-e^{x}*cos(x)+e^{x}*sin(x)-\integral_{}^{}{e^{x}*sin(x) dx}
[/mm]
jetzt kommt der "Trick", du addierst auf beiden Seiten der Gleichung [mm] \integral_{}^{}{e^{x}*sin(x) dx}
[/mm]
[mm] 2\integral_{}^{}{e^{x}*sin(x) dx}=-e^{x}*cos(x)+e^{x}*sin(x)
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{e^{x}*sin(x) dx}=\bruch{1}{2}e^{x}(sin(x)-cos(x))
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Fr 27.11.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
> Hallo
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> die Variante spielt bei dieser Aufgabe eigentlich keine
> Rolle, nehme ich die 1. Variante
>
> [mm]\integral_{}^{}{e^{x}*sin(x) dx}=-e^{x}*cos(x)+\integral_{}^{}{e^{x}*cos(x) dx}[/mm]
>
> jetzt machst du mit [mm]\integral_{}^{}{e^{x}*cos(x) dx}[/mm] erneut
> partielle Integration
>
> [mm]\integral_{}^{}{e^{x}*sin(x) dx}=-e^{x}*cos(x)+e^{x}*sin(x)-\integral_{}^{}{e^{x}*sin(x) dx}[/mm]
Diesen Schritt kann ich nicht folgen. Ich habe immer noch ein durcheinander was ich mit was zu verrechnen habe... Wie kommt dort das minus vor dem [mm] e^x [/mm] zustande?
>
> jetzt kommt der "Trick", du addierst auf beiden Seiten der
> Gleichung [mm]\integral_{}^{}{e^{x}*sin(x) dx}[/mm]
>
> [mm]2\integral_{}^{}{e^{x}*sin(x) dx}=-e^{x}*cos(x)+e^{x}*sin(x)[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{e^{x}*sin(x) dx}=\bruch{1}{2}e^{x}(sin(x)-cos(x))[/mm]
>
> Steffi
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>
Gruss DInker
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Hallo Dinker,
> Hallo
>
> > Hallo
> >
> > die Variante spielt bei dieser Aufgabe eigentlich keine
> > Rolle, nehme ich die 1. Variante
> >
> > [mm]\integral_{}^{}{e^{x}*sin(x) dx}=-e^{x}*cos(x)+\integral_{}^{}{e^{x}*cos(x) dx}[/mm]
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> >
> > jetzt machst du mit [mm]\integral_{}^{}{e^{x}*cos(x) dx}[/mm] erneut
> > partielle Integration
> >
> > [mm]\integral_{}^{}{e^{x}*sin(x) dx}=-e^{x}*cos(x)+e^{x}*sin(x)-\integral_{}^{}{e^{x}*sin(x) dx}[/mm]
>
> Diesen Schritt kann ich nicht folgen. Ich habe immer noch
> ein durcheinander was ich mit was zu verrechnen habe... Wie
> kommt dort das minus vor dem [mm]e^x[/mm] zustande?
Es ist
[mm]\integral_{}^{}{e^{x}*\sin\left(x\right) \ dx}=e^{x}*\left( \ -\cos\left(x\right) \ \right)-\integral_{}^{}{e^{x}*\left( \ -\cos\left(x\right) \ \right) \ dx}[/mm]
[mm]=-e^{x}*\cos\left(x\right)+\integral_{}^{}{e^{x}*\cos\left(x\right) \ dx}[/mm]
Nochmalige partielle Integration liefert:
[mm]\integral_{}^{}{e^{x}*\cos\left(x\right) \ dx}=e^{x}*\sin\left(x\right)-\integral_{}^{}{e^{x}*\sin\left(x\right) \ dx}[/mm]
Insgesamt also:
[mm]\integral_{}^{}{e^{x}*\sin\left(x\right) \ dx}=-e^{x}*\cos\left(x\right)+\integral_{}^{}{e^{x}*\cos\left(x\right) \dx}[/mm]
[mm]\gdw \integral_{}^{}{e^{x}*\sin\left(x\right) \ dx}=-e^{x}*\cos\left(x\right)+\left(e^{x}*\sin\left(x\right)-\integral_{}^{}{e^{x}*\sin\left(x\right) \ dx}\right)[/mm]
[mm]=-e^{x}*\cos\left(x\right)+e^{x}*\sin\left(x\right)-\integral_{}^{}{e^{x}*\sin\left(x\right) \ dx}[/mm]
> >
> > jetzt kommt der "Trick", du addierst auf beiden Seiten der
> > Gleichung [mm]\integral_{}^{}{e^{x}*sin(x) dx}[/mm]
> >
> > [mm]2\integral_{}^{}{e^{x}*sin(x) dx}=-e^{x}*cos(x)+e^{x}*sin(x)[/mm]
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> > [mm]\integral_{}^{}{e^{x}*sin(x) dx}=\bruch{1}{2}e^{x}(sin(x)-cos(x))[/mm]
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> >
> > Steffi
> >
> >
>
> Gruss DInker
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Sa 28.11.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Kann ich das irgendwie sehen, dass dies eine spezielle INtegration ist? Also nicht wie üblich einfach zweimal partielle INtegration durchführen, oder muss ich einfach die Augen offen halten?
Danke
Gruss Dinker
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Hallo, eine gewisse Übung und Routine gehört bei dieser Aufgabe schon dazu, um die zweimalige Integration zu erkennen, wie heißt es so schön "Übung macht den Meister", Steffi
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