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Integral: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:57 Do 19.05.2005
Autor: Fabian

Hallo,

ich hab mal eine kleine Frage:

Ich soll überprüfen ob folgendes Integral existiert.

[mm] \integral_{1}^{\infty} {\bruch{1}{x*\wurzel{x-1}}*dx}=\limes_{b\rightarrow\infty}2arctan(\wurzel{b-1})=\pi [/mm]

Ich habe die Rechnung weggelassen , weil die habe ich verstanden. Ich versteh nur nicht , wenn man [mm] b\to\infty [/mm] gehen lässt , das dann [mm] \pi [/mm] am Ende rauskommt. Ist bestimmt ganz leicht.

Vielen Dank für eure Antworten

Gruß Fabian

        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:13 Do 19.05.2005
Autor: banachella

Hallo!

Es gilt: [mm] $\arctan{x}\to\bruch{\pi}{2}$ [/mm] mit [mm] $x\to\infty$. [/mm]
Warum das so ist, kann man sich so klar machen: Der Arcustangens ist ja die Umkehrfunktion des Tangens. Und wegen [mm] $\tan(x)=\bruch{\sin(x)}{\cos(x)}$ [/mm] gilt [mm] $\lim_{x\nearrow\frac{\pi}{2}}\tan(x)=\infty$, [/mm] weil der Sinus gegen 1 geht und der Cosinus gegen 0. Also geht der Arcustangens mit [mm] $x\to\infty$ [/mm] gegen [mm] $\bruch{\pi}{2}$... [/mm]

Hoffe, dass dir das weiterhilft...

Gruß, banachella

Bezug
                
Bezug
Integral: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:17 Do 19.05.2005
Autor: Fabian


> Hallo!
>  
> Es gilt: [mm]\arctan{x}\to\bruch{\pi}{2}[/mm] mit [mm]x\to\infty[/mm].
>  Warum das so ist, kann man sich so klar machen: Der
> Arcustangens ist ja die Umkehrfunktion des Tangens. Und
> wegen [mm]\tan(x)=\bruch{\sin(x)}{\cos(x)}[/mm] gilt
> [mm]\lim_{x\nearrow\frac{\pi}{2}}\tan(x)=\infty[/mm], weil der Sinus
> gegen 1 geht und der Cosinus gegen 0. Also geht der
> Arcustangens mit [mm]x\to\infty[/mm] gegen [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]...
>  
> Hoffe, dass dir das weiterhilft...

Das hilft mir bestimmt weiter. Jetzt ist es mir klar. Danke für deine Antwort!

Gruß Fabian


Bezug
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