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| Aufgabe | | Bestimmen Sie für [mm] n\in \IN [/mm] das Integral [mm] \integral_{0}^{2\pi}{e^{e^{int} - it} dx}. [/mm] |
Hallihallo,
ich würde gerne obiges Integral berechnen. Dabei würde ich natürlich gerne über einen Kreis integrieren und die Parametrisierung wieder rausnehmen. Dann könnte ich ja den CIS verwenden. Die fehlende Ableitung kann man ja ergänzen und wieder durch dividieren. Ich komme aber irgendwie nicht darauf, welchen Radius der Kreis haben muss, damit das stimmt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 So 04.07.2010 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie für [mm]n\in \IN[/mm] das Integral
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{e^{e^{int} - it} dx}.[/mm]
> Hallihallo,
> ich würde gerne obiges Integral berechnen. Dabei würde
> ich natürlich gerne über einen Kreis integrieren und die
> Parametrisierung wieder rausnehmen. Dann könnte ich ja den
> CIS verwenden. Die fehlende Ableitung kann man ja ergänzen
> und wieder durch dividieren. Ich komme aber irgendwie nicht
> darauf, welchen Radius der Kreis haben muss, damit das
> stimmt?
Hallo,
soll "int" bedeuten: i*n*t?
Dann wäre [mm] e^{int}=cos(nt) [/mm] + i*sin(nt), und
[mm] e^{int}-it [/mm] wäre cos(nt) + i*(-t+sin(nt)).
[mm] e^{ e^{int}-it} [/mm] ist somit
[mm] e^{cos(nt) + i*(-t+sin(nt))}, [/mm] also gilt ln(r)=cos(nt) bzw [mm] r=e^{cos(nt)}.
[/mm]
Gruß Abakus
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Und wenn du das mit dem Residuensatz machen willst, dann berechne
[mm]\int_{|z|=1} \frac{\operatorname{e}^{z^n}}{z^2}~\mathrm{d} z[/mm]
wobei über den positiv orientierten Einheitskreis integriert wird.
Nur für einen einzigen Wert von [mm]n[/mm] verschwindet dieses Integral nicht. Für welchen?
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Danke ;) Für n=0 verschwindet das Integral nicht. Wie kommst du gerade darauf, also auf dieses Integral über diesen Integrationsweg? Das ist mir nämlich nicht ganz klar...
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Ich habs verstanden. Vielen lieben Dank ;)
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Doch, für [mm]n=0[/mm] verschwindet das Integral.
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Also ich hab das ganze jetzt mit dem Residuensatz ausgerechnet und das Integral verschwindet bei mir nur bei n=0 und ansonsten ist das Integral
2 [mm] \pi [/mm] n.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 15:33 So 04.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Bei n = 0 ist die Funktion als einziges mal nicht holomorph, sprich es verschwindet eben NICHT.
Gruss
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Wieso ist die Funktion bei n=0 nicht holomorph? Das erscheint mir nicht wirklich logisch...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 So 04.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Sorry wenn ich hier was falsches gesagt habe. Habe selber mühe mit dem Integral bzw. bin selbst nicht sicher. Hätte es besser lassen sollen...
Also ich meine es ist bei n = 0 nicht holomorph weil ja eine singularität [mm] \bruch{e}{z^{2}} [/mm] bei z = 0 vorliegt.
Gruss
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Naja, das is aber schon der Grundgedanke beim Residuensatz oder? ;) also dass wir ne Singularität haben, sonst brauchste ja auch gar nicht erst das Residuum auszurechnen ;). Also : die Funktion is in z=0 nicht holomorph, mit n=0 hat das meiner Meinung nach aber nichts zu tun.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 So 04.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Naja, das is aber schon der Grundgedanke beim Residuensatz
> oder? ;) also dass wir ne Singularität haben, sonst
> brauchste ja auch gar nicht erst das Residuum auszurechnen
> ;). Also : die Funktion is in z=0 nicht holomorph, mit n=0
> hat das meiner Meinung nach aber nichts zu tun.
Da hast du völlig recht.
Viele Grüße
Rainer
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 16:31 So 04.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bei n = 0 ist die Funktion als einziges mal nicht
> holomorph, sprich es verschwindet eben NICHT.
Die Funktion hat in z=0 für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] einen Pol. Das ist kein Argument dafür, dass das Integral verschwindet.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 So 04.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also ich hab das ganze jetzt mit dem Residuensatz
> ausgerechnet und das Integral verschwindet bei mir nur bei
> n=0
OK.
> und ansonsten ist das Integral
> [mm]2 \pi n[/mm].
Das ist nicht richtig. Poste doch mal deine Berechnung des Residuums.
Viele Grüße
Rainer
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Ich habe erst nachgewiesen, dass (ich nenne den Integrand jetzt mal f) einen Pol zweiter Ordnung in z=0 besitzt. Nun kann man das Residuem ja wie folgt ausrechnen:
res(f,0)= Ableitung von [mm] f(z)(z^2) [/mm] ausgewertet an der Stelle z=0. Und das ist ja dann: [mm] ne^{z}^{n} [/mm] ausgewertet an der Stelle z=0. Und dann kriegt man doch als Residuum n heraus, denn wenn n=0 ist das Residum 0 und ansonsten immer n, weil [mm] e^0^n [/mm] für n ungleich 0 ja 1 ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 So 04.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich habe erst nachgewiesen, dass (ich nenne den Integrand
> jetzt mal f) einen Pol zweiter Ordnung in z=0 besitzt. Nun
> kann man das Residuem ja wie folgt ausrechnen:
> res(f,0)= Ableitung von [mm]f(z)(z^2)[/mm] ausgewertet an der
> Stelle z=0. Und das ist ja dann: [mm]ne^{z^{n}}[/mm] ausgewertet an
> der Stelle z=0.
Nein. Die Ableitung von [mm] $e^{z^{n}}$ [/mm] ist doch [mm] $ne^{z^{n}} [/mm] * [mm] z^{n-1}$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Oh verdammt...ja. so ein dummer fehler ;) vielen dank,..,.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 So 04.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Noch ein Tipp: da es hier um die e-Funktion geht, kannst du das Residuum auch direkt aus deren Potenzreihenentwicklung bestimmen:
[mm] \bruch{1}{z^2}e^{z^n} = \bruch{1}{z^2} \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^{k*n}}{n!} = \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^{k*n-2}}{n!} = z^{-2} + z^{n-2} + \bruch{1}{2} z^{2n-2} + \dots [/mm]
Das Residuum ist der Koefizient des Terms [mm] $z^{-1}$. [/mm] Da schon der dritte Term [mm] $z^{2n-2}$ [/mm] einen Exponenten [mm] $\ge0$ [/mm] hat, kann zu [mm] $z^{-1}$ [/mm] nur der Term [mm] $z^{n-2}$ [/mm] beitragen. Das ist aber nur dann der Fall, wenn $n=1$ ist. Also ist das Residuum 1 für $n=1$ und 0 für $n>1$.
Viele Grüße
Rainer
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Naja, normal sollte das mit dem Ableiten ja ohne Probleme klappen und wenn man richtig ableitet, sieht man ja auch, dass der Term nur für n=1 verschwindet ;)danke!
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