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Integral: Substitution
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:04 Sa 22.10.2011
Autor: theresetom

Aufgabe
[mm] $\int \frac [/mm] {1} [mm] {x^2-1} [/mm] dx$

[mm] =$\int (x^2-1)^{-1}$ [/mm]
$t = [mm] x^2-1$ [/mm]
$dt= 2x dx$
[mm] $\frac{dt}{2x} [/mm] = dx$

[mm] =$\int (x^2-1)^{-1}$ [/mm]
[mm] =$\int \frac [/mm] {1} {2x}  * [mm] t^{-1} [/mm]  dt$
= $ [mm] \frac [/mm] {1} {2x} * ln [mm] ({x^2-1})$ [/mm]

Kann wer mal kurz drüber schauen?

        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:18 Sa 22.10.2011
Autor: reverend

Hallo theresetom,

Ok, ich hab mal drübergeschaut. Es ist falsch. ;-)

> [mm]\int \frac {1} {x^2-1} dx[/mm]
>  =[mm]\int (x^2-1)^{-1}[/mm]
>  [mm]t = x^2-1[/mm]
>  
> [mm]dt= 2x dx[/mm]
>  [mm]\frac{dt}{2x} = dx[/mm]
>  
> =[mm]\int (x^2-1)^{-1}[/mm]

Hier fehlt dx.

>  =[mm]\int \frac {1} {2x} * t^{-1} dt[/mm]

Da x=x(t), musst Du das x wohl auch noch ersetzen. Du kannst es jedenfalls nicht wie eine Konstante behandeln!

>  =
> [mm]\frac {1} {2x} * ln ({x^2-1})[/mm]

Mach doch mal die Probe und leite das ab.

> Kann wer mal kurz drüber schauen?

Das Integral ist nicht ganz so leicht zu lösen. Tipp: setze [mm] x=\tan{(u)}. [/mm]

Besonders hinterlistig ist aber, dass eine geschlossene Stammfunktion so nicht angegeben werden kann, da die Lösungen für |x|<1 und für |x|>1 unterschiedlich sind.

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:30 Sa 22.10.2011
Autor: theresetom

Aber wenn ich nach t ableite, ist doch das x eine Konstante.
wäre ja auch
[mm] $\int [/mm]  x dt = xt + c$
oder nicht?


Supa dass du einen lachenden Smilley nach dem "Es ist falsch" dazugetan hast, da fühlt man sich gleich vieeel besser ..

$ [mm] \int \frac [/mm] {1} {2x} [mm] \cdot{} t^{-1} [/mm] dt $
$ u = 2x$
$ [mm] \frac [/mm] {du}{2}= dx$

[mm] =$\int \frac [/mm] {du}{2} * [mm] u^{-1} [/mm] * [mm] t^{-1}$ [/mm]
?

Bezug
                        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:06 Sa 22.10.2011
Autor: reverend

Hallo nochmal,

> Aber wenn ich nach t ableite, ist doch das x eine
> Konstante.
>  wäre ja auch
>  [mm]\int x dt = xt + c[/mm]
>  oder nicht?

Schon, nur dass x und t voneinander abhängig sind, da geht das eben nicht.

Sonst könnte ich ja jedes Integral ganz einfach und praktisch lösen, wenn ich

[mm] \int{\text{Monsterfunktion}(x)\ dx} [/mm] bearbeite, indem ich [mm] \text{Monsterfunktion}(x)=z [/mm] setze und nur noch [mm] \int{z\ dx}=zx [/mm] löse. So jetzt noch resubstituieren, und ich habe die Lösung
[mm] \int{\text{Monsterfunktion}(x)\ dx}=x*\text{Monsterfunktion}(x) [/mm]

Das geht eben leider nicht. Schade eigentlich.

> Supa dass du einen lachenden Smilley nach dem "Es ist
> falsch" dazugetan hast, da fühlt man sich gleich vieeel
> besser ..

Na, dafür locke ich Dich aber auf eine schwierige Lösungsfährte. Siehe unten.

> [mm]\int \frac {1} {2x} \cdot{} t^{-1} dt[/mm]
>  [mm]u = 2x[/mm]
>  [mm]\frac {du}{2}= dx[/mm]
>  
> =[mm]\int \frac {du}{2} * u^{-1} * t^{-1}[/mm]

Nee, so kommst du doch auch nicht weiter.

Folg mal dem Tipp von Angela, der ist viel einfacher: PBZ.
Die dritte binomische Formel kennst Du ja sicher.

Grüße
reverend



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Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:52 Sa 22.10.2011
Autor: angela.h.b.


> [mm]\int \frac {1} {x^2-1} dx[/mm]

Hallo,

mach eine Partialbruchzerlegung!

Gruß v. Angela


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Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:19 So 23.10.2011
Autor: theresetom

Und wie mache ich das? Sagt mir jetzt grade nichts .-.

Bezug
                        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:36 So 23.10.2011
Autor: reverend

Hallo,

> Und wie mache ich das? Sagt mir jetzt grade nichts .-.

Dann schlags doch []nach.

[mm] \bruch{1}{x^2-1}=\bruch{1}{(x+1)(x-1)}=\bruch{A}{x+1}+\bruch{B}{x-1} [/mm]

Damit gehts.

Grüße
reverend



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