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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Stammfunktion von
f(x)= [mm] \frac{1}{(x-2)^2} [/mm] |
Hab heute erst Integral durch substitution gelernt, bin noch sehr unsicher.
[mm] \integral {\frac{1}{(x-2)^2} dx}
[/mm]
y= x -2
dy = 1 dx
[mm] \frac{dy}{1} [/mm] = dx
[mm] \integral {\frac{1}{ (x-2)^2} dx} [/mm] = [mm] \integral {\frac{1}{y^2} dy}
[/mm]
= [mm] \integral {y^{-2} dy} [/mm] = [mm] \frac{y^{-1}}{-1} [/mm] = - [mm] \frac{1}{y} [/mm] = - [mm] \frac{1}{x-2}
[/mm]
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Hallo!
> Stammfunktion von
> f(x)= [mm]\frac{1}{(x-2)^2}[/mm]
> Hab heute erst Integral durch substitution gelernt, bin
> noch sehr unsicher.
> [mm]\integral {\frac{1}{(x-2)^2} dx}[/mm]
> y= x -2
> dy = 1 dx
> [mm]\frac{dy}{1}[/mm] = dx
>
> [mm]\integral {\frac{1}{ (x-2)^2} dx}[/mm] = [mm]\integral {\frac{1}{y^2} dy}[/mm]
>
> = [mm]\integral {y^{-2} dy}[/mm] = [mm]\frac{y^{-1}}{-1}[/mm] = - [mm]\frac{1}{y}[/mm]
> = - [mm]\frac{1}{x-2}[/mm]
Das stimmt.
Schöner schauts so aus: [mm]\frac{1}{2-x}[/mm]
Valerie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Lu- |
danke ich hätte noch eine frage zu BSp 2)
[mm] \integral [/mm] {5* [mm] 2^{-x} [/mm] dx}
y = -x
[mm] \frac{ dy}{-1} [/mm] = dx
[mm] \integral [/mm] {5* [mm] 2^{-x} [/mm] dx} = [mm] \integral {5*2^y \frac{ dy}{-1} } [/mm] = 5 * [mm] \frac{2^{y+1}}{y+1} [/mm] * -1 = -5 * [mm] \frac{2^{-x+1}}{-x+1}
[/mm]
Ist das so korrekt?
LG
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Hallo Lu-,
> danke ich hätte noch eine frage zu BSp 2)
> [mm]\integral[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{5* [mm]2^{-x}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dx}
>
> y = -x
> [mm]\frac{ dy}{-1}[/mm] = dx
>
> [mm]\integral[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{5* [mm]2^{-x}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dx} = [mm]\integral {5*2^y \frac{ dy}{-1} }[/mm]
> = 5 * [mm]\frac{2^{y+1}}{y+1}[/mm] * -1 = -5 *
> [mm]\frac{2^{-x+1}}{-x+1}[/mm]
>
> Ist das so korrekt?
Nein, das geht so nicht.
Schreibe [mm] $2^{-x}=e^{\ln(2^{-x})}=e^{-x\cdot{}\ln(2)}$ [/mm] und integriere dann.
(Evtl. mit der Substitution [mm] $u=u(x):=-\ln(2)x$)
[/mm]
>
> LG
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Lu- |
So verstehe ich es leider gar nicht mit e.
Es ist bei den Beispielen durch Substitution dabei:
[mm] \integral [/mm] 5 * [mm] 2^{-x} [/mm] dx
Was sollte ich denn ersetzen?
ersetze ich nicht -x durch y ?
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Hallo nochmal,
> So verstehe ich es leider gar nicht mit e.
> Es ist bei den Beispielen durch Substitution dabei:
> [mm]\integral[/mm] 5 * [mm]2^{-x}[/mm] dx
>
> Was sollte ich denn ersetzen?
> ersetze ich nicht -x durch y ?
Nein, du "musst" das wie oben beschrieben umschreiben als [mm] $5\cdot{}\int{e^{-\ln(2)\cdot{}x} \ dx}$ [/mm] und siehst entweder mit scharfem Blick eine Stammfunktion oder substituierst: [mm] $u=u(x):=-\ln(2)x$
[/mm]
Damit ist dann [mm] $u'(x)=\frac{du}{dx}=---$, [/mm] also $dx=--- du$ usw.
Die Potenzregel für das Integrieren kannst du hier vergessen, da das $x$ im Exponenten steht ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Lu- |
Okay.
du/ ( - ln (2)) = dx
$ [mm] 5\cdot{}\int{e^{-\ln(2)\cdot{}x} \ dx} [/mm] $ = 5 * [mm] e^{-ln(2)}
[/mm]
Aber wenn ich dass mit ersetzten mache, hat man ja eigentlich erst ein x als Hochzahl. Also für was die Umformung
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Hallo nochmal,
> Okay.
> du/ ( - ln (2)) = dx
Ja, und damit [mm]\int{5\cdot{}2^{-x} \ dx}=-\frac{5}{\ln(2)}\cdot{}\int{e^{u} \ du}=-\frac{5}{\ln(2)}\cdot{}e^{u}+C=-\frac{5}{\ln(2)}\cdot{}e^{-\ln(2)x}+C=-\frac{5}{\ln(2)}\cdot{}2^{-x}+C[/mm]
>
> [mm]5\cdot{}\int{e^{-\ln(2)\cdot{}x} \ dx}[/mm] = 5 * [mm]e^{-ln(2)}[/mm]
Wie kommt das zustande??
>
> Aber wenn ich dass mit ersetzten mache, hat man ja
> eigentlich erst ein x als Hochzahl. Also für was die
> Umformung
[mm]e^x[/mm] kannst du integrieren, [mm]2^x[/mm] so ohne weiters, also ohne Umschreibung in die Exponentialdarstellung nicht ...
Versuche, meine Rechnung nachzuvollziehen, ich habe extra nicht jeden Schritt im Detail hingeschrieben, das kannst du mal für dich machen.
Wenn noch was unklar ist, frag einfach nochmal nach 
Gute Nacht!
schachuzipus
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