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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Mo 29.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Nun beschäftige ich mich mal mit ein paar Integrationsaufgaben.
Seien a,b [mm] \in \IR_{+}^{*} [/mm] (also alle positiven ohne die 0). Man berechne den Flächeninhalt der Ellipse
[mm] E:=\{(x,y)\in\IR^2:\bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}\le 1\}.
[/mm]
Das Ganze steht in einem Analysis I-Buch in einem Kapitel zu "Integration und Differentiation". Dort wurden u. a. die Substitutionsregel und die partielle Integration behandelt.
Allerdings fehlt mir hier schon der Ansatz, um welches Integral es sich handeln soll. Muss ich da, wie bei Lebesgue-Integralen und so, zweimal integrieren? Könnte mir jemand bitte helfen, das Integral zu finden? Aber nicht direkt zu viel verraten...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:07 Mo 29.08.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Christiane
> Hallo!
> Nun beschäftige ich mich mal mit ein paar
> Integrationsaufgaben.
>
> Seien a,b [mm]\in \IR_{+}^{*}[/mm] (also alle positiven ohne die 0).
> Man berechne den Flächeninhalt der Ellipse
>
> [mm]E:=\{(x,y)\in\IR^2:\bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}\le 1\}.[/mm]
>
> Das Ganze steht in einem Analysis I-Buch in einem Kapitel
> zu "Integration und Differentiation". Dort wurden u. a. die
> Substitutionsregel und die partielle Integration
> behandelt.
> Allerdings fehlt mir hier schon der Ansatz, um welches
> Integral es sich handeln soll. Muss ich da, wie bei
> Lebesgue-Integralen und so, zweimal integrieren? Könnte mir
> jemand bitte helfen, das Integral zu finden? Aber nicht
> direkt zu viel verraten...
>
> Viele Grüße
> Bastiane
>
>
Da die Aufgabe in einem Analysis-I-Buch entnommen ist, wird da wohl noch nichts mit Transformationsformel sein.
Spontan bei einer Ellipse fällt mir immer ein, dass durch die Substitutionen
[mm] $u:=\bruch{x}{a}$
[/mm]
und
[mm] $v:=\bruch{y}{b}$
[/mm]
ein Einheitskreis entsteht mit der Formel
[mm] $u^2+v^2=1$
[/mm]
Aber eben: Analysis I.
Da würde ich halt mal nach $y_$ auflösen und dann wenigstens das $x_$ nach obiger Anmerkung substituieren.
[mm] $y=\bruch{b}{a}\wurzel{a^2-x^2}$
[/mm]
$x:=au$
$dx:=a du$
Dann wird der Integrand zu
[mm] $ab\wurzel{1-u^2}$
[/mm]
Ich hoffe, dass der Lösungsweg so gemeint war! (Jetzt ist ein Einheitskreis zu integrieren. Vorsicht ist noch geboten, da durch die Wurzel nur noch die obere Hälfte des Kreises Vorhanden ist! Die Grenzen für $u_$ sind dann ... Nicht zu viel verraten!) 
Mit lieben Grüssen
Paul
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Di 30.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Paul!
> > Seien a,b [mm]\in \IR_{+}^{*}[/mm] (also alle positiven ohne die 0).
> > Man berechne den Flächeninhalt der Ellipse
> >
> > [mm]E:=\{(x,y)\in\IR^2:\bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}\le 1\}.[/mm]
>
> >
> > Das Ganze steht in einem Analysis I-Buch in einem Kapitel
> > zu "Integration und Differentiation". Dort wurden u. a. die
> > Substitutionsregel und die partielle Integration
> > behandelt.
> > Allerdings fehlt mir hier schon der Ansatz, um welches
> > Integral es sich handeln soll. Muss ich da, wie bei
> > Lebesgue-Integralen und so, zweimal integrieren? Könnte mir
> > jemand bitte helfen, das Integral zu finden? Aber nicht
> > direkt zu viel verraten...
> Spontan bei einer Ellipse fällt mir immer ein, dass durch
> die Substitutionen
>
> [mm]u:=\bruch{x}{a}[/mm]
>
> und
>
> [mm]v:=\bruch{y}{b}[/mm]
>
> ein Einheitskreis entsteht mit der Formel
>
> [mm]u^2+v^2=1[/mm]
>
> Aber eben: Analysis I.
>
> Da würde ich halt mal nach [mm]y_[/mm] auflösen und dann wenigstens
> das [mm]x_[/mm] nach obiger Anmerkung substituieren.
>
> [mm]y=\bruch{b}{a}\wurzel{a^2-x^2}[/mm]
>
> [mm]x:=au[/mm]
> [mm]dx:=a du[/mm]
Wenn ich mir mal vorher genau angeguckt hätte, was denn a und b überhaupt zu bedeuten haben, wäre ich vielleicht sogar noch alleine auf einen halben Ansatz gekommen... Naja. Aber eine Sache verstehe ich irgendwie nie - wie berechnet man denn bei einer Substitution das dx? Ich glaub', das ist gar nicht so schwierig, aber ich weiß nie, wie ich das machen muss. Hier sieht es ja aus, als hätte man es einfach nur vor das x schreiben müssen...
> Dann wird der Integrand zu
>
> [mm]ab\wurzel{1-u^2}[/mm]
Ach, jetzt weiß ich auch, wo das a herkommt - von dem a du. Das hatte ich wohl übersehen. Jetzt ist es klar.
> Ich hoffe, dass der Lösungsweg so gemeint war! (Jetzt ist
> ein Einheitskreis zu integrieren. Vorsicht ist noch
> geboten, da durch die Wurzel nur noch die obere Hälfte des
> Kreises Vorhanden ist! Die Grenzen für [mm]u_[/mm] sind dann ...
> Nicht zu viel verraten!)
Ich kann mir gut vorstellen, dass es so gemeint war. Die Grenzen müssten dann ja jetzt wohl -1 und 1 sein - allerdings habe ich das aus der anschaulichen Vorstellung. Erst daraus habe ich mir dann überlegt, dass die Grenzen vorher (also für x) wohl -a und a waren?
Naja, also jetzt hätte ich dann:
[mm] \integral_{-1}^1ab\wurzel{1-u^2}du [/mm] = [mm] ab\integral_{-1}^1\wurzel{1-u^2}du [/mm] = ... (steht im Buch ) = [mm] ab\bruch{\pi}{2}
[/mm]
Aber jetzt habe ich gar kein u mehr, dass ich zurücksubstituieren könnte. Ist das hier jetzt schon das Ergebnis der ganzen Aufgabe? Ach so, ich müsste es wohl noch mit 2 multiplizieren, da ich ja wegen der Wurzel nur noch eine halbe Ellipse hatte. Also wäre dann der Flächeninhalt der Ellipse [mm] \pi [/mm] ab - und das steht auch in meiner Formelsammlung, also wird es wohl stimmen. 
Viele Grüße und danke für die Antwort.
Christiane
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 Di 30.08.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Christiane
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> Naja. Aber eine Sache verstehe ich irgendwie nie - wie
> berechnet man denn bei einer Substitution das dx? Ich
> glaub', das ist gar nicht so schwierig, aber ich weiß nie,
> wie ich das machen muss. Hier sieht es ja aus, als hätte
> man es einfach nur vor das x schreiben müssen...
>
Na ja, es gibt eigentlich zwei Wege:
Wenn du substituierst x:=f(u), dann kannst du einfach dieses berechnen:
[mm] $\bruch{dx}{du}=f'(u)$
[/mm]
Und diese Gleichung kannst du einfach nach dx auflösen, als seien dx und du ganz normale Variablen. Dabei erhältst du:
$dx = f'(u) [mm] \, [/mm] du$
Du hättest aber auch so substituieren können:
$u:=g(x)$
Statt die Gleichung nach x umzustellen und nach oben beschriebener Methode vorzugehen, kannst du ganz einfach dieses machen:
[mm] $\bruch{du}{dx}=g'(x)$
[/mm]
Wenn du das wieder nach dx auflöst, bekommst du:
[mm] $dx=\bruch{du}{g'(x)}$
[/mm]
Das Problem hierbei ist nur, dass du dann die auftretenden x wieder ersetzen musst, also doch die obige Formel nach x umzustellen brauchst, es sei denn...
... es liege so etwas vor (Beispiel):
[mm] $\int{(x^2+x+7)(2x+1) \, dx}$
[/mm]
In einem Moment geistiger Erleuchtung fällt es dir nicht im Traume ein, den Ausdruck auszumultiplizieren. Stattdessen entscheidest du dich, diese Substitution vorzunehmen:
[mm] $u:=x^2+x+7$
[/mm]
Das ergibt dann
[mm] $\bruch{du}{dx}=2x+1$
[/mm]
nach $dx_$ aufgelöst:
$dx = [mm] \bruch{du}{2x+1}$
[/mm]
Jetzt führen wir die Substitution durch, aber vorläufig nur das u (die 2. Klammer im Integranden lassen wir mal zufälligerweise stehen):
[mm] $\int{u(2x+1)*\bruch{1}{2x+1}} \, [/mm] du$
Aha! ![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]") da kürzt sich was weg! Uebrig bleibt:
[mm] $\int{u} \, [/mm] du = [mm] \bruch{u^2}{2}+Const.$
[/mm]
Da kannst du noch resubstituieren, und schon bist du fertig!
Ist das alles klar?
> Aber jetzt habe ich gar kein u mehr, dass ich
> zurücksubstituieren könnte. Ist das hier jetzt schon das
Ja klar, du hast ja ein eigentliches Integral, und du hast die Integrationsgrenzen so Angepasst, dass keine Rücksubstitution mehr nötig ist!
> Ergebnis der ganzen Aufgabe? Ach so, ich müsste es wohl
> noch mit 2 multiplizieren, da ich ja wegen der Wurzel nur
> noch eine halbe Ellipse hatte. Also wäre dann der
> Flächeninhalt der Ellipse [mm]\pi[/mm] ab - und das steht auch in
> meiner Formelsammlung, also wird es wohl stimmen.
>
Das denke ich nicht! Es stimmt zwar schon, aber beileibe nicht, weil es in der Formelsammlung so steht!
> Viele Grüße und danke für die Antwort.
> Christiane
>
>
Herzlichst
Paul
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