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| Aufgabe | Sei a>1. Berechnen sie das Integral:
[mm] \integral_{1}^{a}{log(x) dx}
[/mm]
direkt mit der Definition des Integrals. Wähle hierzu die Zerlegung
[mm] 1=x_0
Verwenden sie die Formel:
[mm] \summe_{k=1}^{n} k\cdot q^{k-1}=\bruch{(n+1)\cdot q^n}{q-1}-\bruch{q^{n+1}-1}{(q-1)^2} [/mm] für alle [mm] q\not=1 [/mm] |
Okay, das Riemann Integral ist folgender maßen definiert:
[mm] O(Z):=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\cdot\sup_{x_{k-1}
[mm] U(Z):=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\cdot\inf_{x_{k-1}
Für [mm] x_k [/mm] könnte ich ja die Zerlegung eintragen also [mm] x_k=a^{\bruch{k}{n}}, [/mm] dass Supremum müsste ja, log(a) sein, da der log. streng monoton ist.
Allerdings weiss ich garnicht, wie ich die Formel die ich dort benutzen soll verwenden kann.
Mir ist nicht wirklich klar, was hier nun k bzw. q sein soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Di 05.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast sup(lnx) und hast recht, du musst da log monoton steigt, den Wert [mm] beix_k [/mm] nehmen aber der ist [mm] log(a^{k/n})=k/n*loga [/mm] und nicht loga.
ausserdem trag auch fuer due [mm] x_k [/mm] die vorgegebenen werte ein. klammere [mm] a^{k/n} [/mm] aus.
Dann erst sieh dir die Summe an!
Gruss leduart
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> Hallo
> du hast sup(lnx) und hast recht, du musst da log monoton
> steigt, den Wert [mm]beix_k[/mm] nehmen aber der ist
> [mm]log(a^{k/n})=k/n*loga[/mm] und nicht loga.
> ausserdem trag auch fuer due [mm]x_k[/mm] die vorgegebenen werte
> ein. klammere [mm]a^{k/n}[/mm] aus.
> Dann erst sieh dir die Summe an!
> Gruss leduart
Okay also erhalte ich:
log a [mm] \sum_{k=1}^n (\bruch{k}{n}) (a^\bruch{k}{n}) (a^{\bruch{k}{n}}-a^{\bruch{k-1}{n}})
[/mm]
Da kann ich auch noch die [mm] \bruch{1}{n} [/mm] rauszeihen also habe ich:
[mm] \bruch{log a}{n} \sum_{k=1}^n [/mm] k [mm] (a^{\bruch{k}{n}}-a^{\bruch{k-1}{n}})
[/mm]
Ich werde mal schauen ob ich den Term so weit umformen kann, bis ich ebend die oben gennante form erhalte.
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Okay ich bin nun hier gelandet:
= [mm] \bruch{log a}{n}\cdot (1-a^{-\bruch{1}{n}})\cdot \summe_{k=1}^{n} k\cdot a^k\cdot a^{-n}
[/mm]
Ich müsste ja nun irgendwie auf sowas wie [mm] a^{k-1} [/mm] kommen, nur weiss ich grade nicht weiter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:01 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Hellsing89 |
> Okay ich bin nun hier gelandet:
>
> = [mm]\bruch{log a}{n}\cdot (1-a^{-\bruch{1}{n}})\cdot \summe_{k=1}^{n} k\cdot a^k\cdot a^{-n}[/mm]
>
>
> Ich müsste ja nun irgendwie auf sowas wie [mm]a^{k-1}[/mm] kommen,
> nur weiss ich grade nicht weiter.
Ah ich könnte doch noch ein a rausziehen, dann hätte ich:
= [mm] \bruch{log a}{n\cdot a^n}\cdot (1-a^{-\bruch{1}{n}})\cdot [/mm] a [mm] \cdot \summe_{k=1}^{n} k\cdot a^{k-1}
[/mm]
und könnte nun die Formel benutzen.
Ist das so bislang richtig, oder habe ich mich irgendwo verrechnet ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:41 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Hellsing89 |
Ah oben habe ich einen (dummen) fehler gemacht.
Ich habs nun aber endlich raus.
Danke nochmal für die hilfe :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:45 Mi 06.06.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
ich seh keinen Fehler in deiner letzten Mitteilung.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:44 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Verwenden sie die Formel:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} k\cdot q^{k-1}=\bruch{(n+1)\cdot q^n}{q-1}-\bruch{q^{n+1}-1}{(q-1)^2}[/mm]
> für alle [mm]q\not=1[/mm]
weißt Du, wie man sich diese herleiten kann?
Tipp: Die Funktion [mm] $f=f_n: \IR \setminus \{1\} \to \IR$ [/mm] mit $q [mm] \mapsto f(q)=f_n(q)=\sum_{k=1}^n q^k$ [/mm] kann man einmal in dieser Form differenzieren (da steht eine Summe von ENDLICH VIELEN Funktionen - das macht dann keine Probleme!), andererseits kann man auch erst
[mm] $$f_n(q)=\sum_{k=1}^n q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$
[/mm]
[mm] $\text{(}$bzw. [/mm] hier besser
[mm] $$f_n(q)=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}\;\;\;\text{ )}$$
[/mm]
schreiben und das mit der Quotientenregel differenzieren.
Natürlich kann man auch einen Induktionsbeweis durchführen. Oder jemand hat noch eine andere Idee...
Gruß,
Marcel
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