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Integral/Fubini: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:43 Fr 31.07.2009
Autor: Fry

Aufgabe
Sei [mm] f:\IR^3\to\IR [/mm] gegeben durch [mm] f(x,y,z)=4xy*1_{[0,1]^3}(x,y,z) [/mm]
Es sei (X,Y,Z) ein Zufallsvektor, dessen Verteilung die Wkeitsdichte f besitzt.
Bestimmen Sie P(X<Y<Z).

Hallo!

Ich hab mir mal gedacht, dass die obige Aufgabe anders löse als in der Musterlösung.

Man soll ja P(A) berechnen mit [mm] A=\{(x,y,z)\in\IR^3,0\le x In der Musterlösung wurde A umgeschrieben in [mm] [0,1]\times[0,z)\times[0,y) [/mm]
Damit erhält man [mm] P(A)=\bruch{1}{10} [/mm]

Wenn ich allerdings [mm] A=[0,1]\times(x,z)\times[0,1] [/mm] verwende erhalte ich [mm] P(A)=-\bruch{1}{6} [/mm]

Habe ich A falsch umgeschrieben?
Es gibt eigentlich etliche Möglichkeiten A in ein kartesisches Produkt umzuschreiben oder?

Hier mal meine Rechnung dazu:

[mm] P(A)=\integral_{(0,1)}dx\integral_{(0,1)}dz\integral_{(x,z)}dy [/mm] 4xy
[mm] =\integral_{(0,1)}dx\integral_{(0,1)}dz [2xz^2-2x^3] [/mm]
[mm] =\integral_{(0,1)}dx(\bruch{2}{3}x-2x^3) [/mm]
=1/3-1/2=-1/6

Viele Grüße
Christian

        
Bezug
Integral/Fubini: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:59 Fr 31.07.2009
Autor: MathePower

Hallo Fry,

> Sei [mm]f:\IR^3\to\IR[/mm] gegeben durch
> [mm]f(x,y,z)=4xy*1_{[0,1]^3}(x,y,z)[/mm]
>  Es sei (X,Y,Z) ein Zufallsvektor, dessen Verteilung die
> Wkeitsdichte f besitzt.
>  Bestimmen Sie P(X<Y<Z).
>  Hallo!
>  
> Ich hab mir mal gedacht, dass die obige Aufgabe anders
> löse als in der Musterlösung.
>  
> Man soll ja P(A) berechnen mit [mm]A=\{(x,y,z)\in\IR^3,0\le x
>  
> In der Musterlösung wurde A umgeschrieben in
> [mm][0,1]\times[0,z)\times[0,y)[/mm]
>  Damit erhält man [mm]P(A)=\bruch{1}{10}[/mm]
>  
> Wenn ich allerdings [mm]A=[0,1]\times(x,z)\times[0,1][/mm] verwende
> erhalte ich [mm]P(A)=-\bruch{1}{6}[/mm]
>  
> Habe ich A falsch umgeschrieben?


Ja, hier hast Du nicht berücksichtigt, daß [mm] Z > X[/mm] sein muß.


>  Es gibt eigentlich etliche Möglichkeiten A in ein
> kartesisches Produkt umzuschreiben oder?
>  
> Hier mal meine Rechnung dazu:
>  
> [mm]P(A)=\integral_{(0,1)}dx\integral_{(0,1)}dz\integral_{(x,z)}dy[/mm]
> 4xy
>  [mm]=\integral_{(0,1)}dx\integral_{(0,1)}dz [2xz^2-2x^3][/mm]
>  
> [mm]=\integral_{(0,1)}dx(\bruch{2}{3}x-2x^3)[/mm]
>  =1/3-1/2=-1/6
>  
> Viele Grüße
>  Christian


Gruß
MathePower

Bezug
        
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Integral/Fubini: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 Fr 31.07.2009
Autor: Leopold_Gast

Schon die Annahme, daß [mm]A[/mm] "umgeschrieben" wurde, ist falsch. [mm][0,1] \times [0,z) \times [0,y)[/mm] ist ja von [mm]z,y[/mm] abhängig und kann schon deshalb nicht gleich [mm]A[/mm] sein, denn [mm]A[/mm] hängt von keinen Parametern ab.

[mm]A[/mm] ist kein kartesisches Produkt dreier Intervalle! Solche sind immer achsenparallele Quader. [mm]A[/mm] ist aber eine Pyramide!

Skizziere dir einmal die Menge [mm]A[/mm] aller Punkte [mm](x,y,z)[/mm] mit [mm]0 \leq x < y < z \leq 1[/mm].

Du solltest dir den Satz von Fubini noch einmal genau anschauen.

Bezug
                
Bezug
Integral/Fubini: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:26 Sa 01.08.2009
Autor: Fry

Hallo ihr beiden,

habe jetzt die Mengen angepasst und jetzt hats rechnerisch geklappt.
Danke!

@Leopold:
Habe mir mal ne Zeichnung gemacht und eingesehen, dass die Mengen unterschiedlich sind
Könntest du mir nochmal erklären, warum man dann aber einfach "über das kartesische Produkt" integriert bzw wie man den Integrationsweg "herausfindet"?

Würde mir auch vorstellen, dass die Funktion entsprechend außerhalb von A =0 ist und man daher den Integrationsbereich ausdehnen kann.

Wäre toll, wenn du versuchen könntest, dass etwas zu erklären. Danke!

Gruß
Christian

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