Integral, Gleichung beweisen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 So 12.11.2006 | | Autor: | patb |
Hallo,
ich habe hier folgendes Integral:
[mm] I_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e} [/mm] * [mm] \integral_{0}^{1}{x^{n} e^{x} dx}
[/mm]
für n >= 0.
Folgendes ist die Aufgabe:
"Zeigen Sie, dass [mm] I_{n} [/mm] = 1 - n [mm] I_{n-1} [/mm] für n>1 gilt."
Nun ist mein Ansatz, dass ich den Beweis per vollst. Induktion durchführe. Leider bereitet mir das Integral (ich bin noch relativ neu was Integrale angeht) große Probleme, da dort ein Produkt steht. Meine Ansätze sind hier die Integration durch Substitution oder die partielle Integration... leider komme ich nicht weiter, ich weiß einfach nicht, wie ich mit dem Integral umgehen muss, um vielleicht die Stammfunktionen zu finden.
Ich hoffe sehr, dass mir jemand helfen kann
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:46 Mo 13.11.2006 | | Autor: | galileo |
Hallo patb
> Hallo,
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> ich habe hier folgendes Integral:
>
> [mm]I_{n} = \bruch{1}{e} * \integral_{0}^{1}{x^{n} e^{x} dx}[/mm]
>
> für n >= 0.
>
> Folgendes ist die Aufgabe:
>
> "Zeigen Sie, dass [mm]I_{n} = 1 - nI_{n-1}[/mm] für n>1 gilt."
Du führst eine partielle Integration aus:
[mm]u=x^n\qquad\qquad du=nx^{n-1}dx[/mm]
[mm]dv=e^x dx\qquad\qquad v=e^x[/mm]
Andererseits, hast du:
[mm]I_{n-1}=\bruch{1}{e} * \integral_{0}^{1}
{x^{n-1} e^{x} dx}[/mm]
Versuche jetzt das Puzzle zusammenzufügen! OK? 
Schöne Grüße, galileo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:39 Mo 13.11.2006 | | Autor: | patb |
Vielen Dank für die Antwort. Leider hatte ich es schon mit partieller Integration versucht, bin aber zu keinem Ergebnis gelangt. Ich versuche es gleich jedoch nochmal intensiv.
Leider verstehe ich Deinen Hinweis mit "Andererseits, hast du: ... " nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:17 Mo 13.11.2006 | | Autor: | galileo |
Dann rechne ich's dir vor. Du wendest die partielle Integration so an:
[mm]du(x)=u^{\prime}(x)dx[/mm]
$ [mm] d(u\cdot v)=u\cdot dv+v\cdot [/mm] du $
Von hier:
$ [mm] u\cdot dv=d(u\cdot v)-v\cdot [/mm] du $
Wenn du beide Seiten integrierst von a nach b
[mm]\framebox[5cm][l]{\rule{0cm}{0.9cm}\displaystyle{\integral_{a}^{b}u*dv=\left. \rule{0cm}{0.5cm}(u*v)\right|_{a}^{b}
-\integral_{a}^{b}v*du}}[/mm]
Und jetzt zu unserem Beispiel:
[mm]
I_{n}=\bruch{1}{e}\integral_{0}^{1} x^n e^x dx
[/mm]
[mm]
u=x^n\qquad\qquad du=nx^{n-1}dx
[/mm]
[mm]
dv=e^x dx\qquad\qquad v=e^x
[/mm]
[mm]
I_n=\left. \bruch{1}{e}x^n e^x \right| _{0}^{1}
-n*\bruch{1}{e}\integral_{0}^{1}x^{n-1}e^x dx
=\bruch{1}{e}\left( 1^n e^1 - 0^n e^0\right)-nI_{n-1}
=\bruch{1}{e}*e-nI_{n-1}
=1-nI_{n-1}
[/mm]
q.e.d.
Hoffentlich kannst du es nachvollziehen. Siehe meine erste Antwort auch.
Du musst die Formeln aufmerksam lesen; sie sprechen Klartext, aber du musst ihre Sprache verstehen.
Wenn etwas noch nicht klar ist, frage, bitte, weiter!
Viele Grüße, galileo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:22 Mo 13.11.2006 | | Autor: | patb |
Vielen Dank!
Ich komme erst gegen Abend nach Hause und schaue mir dann die Lösung genauesten an, schließlich möchte ich es auch sehr gerne verstehen (Deinen Hinweis habe ich beim Drüberschauen nun schon verstanden).
Falls dann noch Fragen sind, würde ich mich freuen wenn ich mich nochmal hier melden darf.
Nochmals, danke!
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