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| Aufgabe | | Sei f [mm] \in [/mm] H(D) und f(D) [mm] \subseteq [/mm] D. Beweisen Sie, dass f'(0) [mm] \in \overline{D} [/mm] gilt. |
Hi,
also D haben wir als Einheitskreissscheibe definiert und [mm] \overline{D} [/mm] als Abschluss vom Einheitskreis.
Nur leider komm ich bei der Aufgabe nicht vorran bzw fehlt mir der richtige Ansatz. In der Vorlesung beschäftigen wir uns gerade mit Potenzreihen, ich hab auch schon versucht weiterzukommen indem ich f als Potenzreihe darstelle, das hat mich aber leider auch nicht weitergebracht.
Vielen Dank im Vorraus und Liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 So 21.06.2009 | | Autor: | zorin |
Cauchy-Integralformel für f'(0) abschätzen, für verschiedene Radien r<1.
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Also ich hab jetzt einfach mal in die Chauchy-Integralformel eingesetzt und bekomme
f'(0) = [mm] \bruch{1}{2 \pi i} \integral_{B(0,r)}^{ }{\bruch{f(z)}{z^{2}}dx}
[/mm]
Nur versteh ich nicht ganz was du dann mit dem abschätzen meinst.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 So 21.06.2009 | | Autor: | zorin |
Was bedeutet denn, dass f'(0) ein Element der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe sein soll?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:25 Mo 22.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei 0<r<1, M = max{ |f(z): |z|= r } und [mm] \gamma_r(t) [/mm] = [mm] re^{it}, [/mm] t [mm] \in [0,2\pi [/mm] i]]
Weiter sie L = Länge von [mm] \gamma_r [/mm] , also L = [mm] 2\pi [/mm] r
Dann:
$|f'(0)| = $
[mm] $|\bruch{1}{2 \pi i}\integral_{\gamma_r}^{}{\bruch{f(z)}{z^{2}}dz}|$
[/mm]
[mm] $\le \bruch{M}{2 \pi r^2}*L [/mm] = M/r [mm] \le [/mm] 1/r$
Jetzt r [mm] \to [/mm] 1
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:18 Di 23.06.2009 | | Autor: | Bienchen87 |
Jetzt wo ichs so seh find ichs total logisch, aber davor wär ich einfach nich draufgekommen! Also vielen Dank!!!!
Liebe Grüße
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