Integral, Maß < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Fr 30.03.2012 | | Autor: | sigmar |
| Aufgabe | Berechnen Sie mit einer Methode Ihrer Wahl das folgende Integral:
[mm] \integral_{[-1,1]}{(x - 2) d\mu(x)} [/mm] für das Maß [mm] \mu [/mm] auf [mm] \mathcal{B}^1 [/mm] mit [mm] \mu(A) [/mm] := [mm] \integral_{A}\bruch{1}{1 + x^2}dx [/mm] |
So, jetzt ist der erste Schritt in der Musterlösung:
[mm] \integral_{-1}^{1}{(x - 2) d\mu(x)} [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch{x}{1 + x^2}dx} [/mm] - [mm] 2*\integral_{-1}^{1}{\bruch{1}{1 + x^2}dx}
[/mm]
Anscheinend haben wir hier einfach multipliziert (und dann direkt auseinandergezogen, aber das ist erstmal egal), aber warum dürfen wir das? Bzw was machen wir da überhaupt? Den Rest der Aufgabe verstehe ich.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 Fr 30.03.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Hast du die Formeln auch richtig abgetippt? Irgendetwas ist da glaube unstimmig. Aber dass man die Dichtefunktion einfach dranmultiplizieren darf ist eine Folgerung des Satzes von radon-Nikodym. Siehe dazu auch ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia. Unter "Eigenschaften" findest du die Regel, die dir das erlaubt.
Hast du nämlich [mm] $\mu(A)=\integral_A [/mm] f [mm] d\lambda$ [/mm] gegeben, so gilt [mm] $f=\frac{d\mu}{d\lambda}$. [/mm] Daraus folgt dann [mm] $\integral_M [/mm] g [mm] d\mu=\integral_M [/mm] g [mm] \frac{d\lambda}{d\lambda} d\mu=\integral_M [/mm] g [mm] \frac{d\mu}{d\lambda} d\lambda=\integral_M [/mm] gf [mm] d\lambda$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 Sa 31.03.2012 | | Autor: | sigmar |
Jo, hatte mich vertippt, jetzt stimmt die Gleichung.
Ok danke, ich denke deine Antwort hilft mir bereits weiter.
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