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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Berechne \integral_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^4}dx |
Ich schreibe jetzt ein wenig die Theorie aus, um etwaige Fehler besser nachvollziehbar zu machen !!
Gesucht ist also ein Integral der Form I:=\integral_{-\infty}^{\infty}f(x)dx mit einem rationalen Integranden f.
Nach dem Residuensatz gilt :
$\frac{1}{2 \pi i}(\integral_{-r}^{r} + \integral_{k_{r}})f(z)dz = \sum_{*}res $ , wobei nun \sum_{*} die Summe über die Residuensatz im oberen Halbkreis meint ( k_r ist also dervon -r zu r führende Halbkreis )
Für r \to \infty strebt das Integral über k_r nach 0 und damit erhält man
I = \sum_{*}res.
Falls der Grad des Nennerpolynoms um mindestens 2 größer ist als der des Zählerpolynoms ( sonst kann man das Integral über k_r nicht so abschätzen, dass man die Konvergenz gegen 0 ersieht)
Na gut.
Also zu obigem Beispiel
wir setzen $g(z)=z^4+1$ Aus Gründen der Übersichtlickeit
Wir lösen mal die Gleichung z^4=-1 und erhalten (als Lösungen in der oberen Ebene) $z_{1}=exp(i \pi /4)$ und $z_{2} = exp(3 \pi i /4) $
$Res(1/g(z),z_k)= 1/g'(z_k)$
Damit also $Res(1/g(z),z_1) = \frac{1}{4 exp(3 \pi i /4)$
Und $res(1/g,z_2)= \frac{1}{4exp(6 \pi i /4)}$
Damit also $ I =2 \pi i ( \frac{1}{4 exp(3 \pi i /4)}+\frac{1}{4exp(6 \pi i /4)})$
Passt das so ?
Lg Peter
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Prinzipiell ist das richtig. Zwischendrin fehlt allerdings mal ein [mm]2 \pi \operatorname{i}[/mm]. Und natürlich ist [mm]3 \cdot 3 = 9[/mm] und nicht [mm]= 6[/mm]. (Dein Integralergebnis ist dadurch nicht reell.)
Im Unterschied zu dieser Aufgabe funktioniert dies hier, weil der Integrand auf der reellen Achse keine Nullstellen besitzt.
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Wenn ich hier das Integral nur von 0 bis [mm] \infty [/mm] laufen lassen - summiere ich dann nur die Residuen im ersten Quadranten ?
Lg Peter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:37 Mo 16.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Wenn ich hier das Integral nur von 0 bis [mm]\infty[/mm] laufen
> lassen - summiere ich dann nur die Residuen im ersten
> Quadranten ?
$ [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^4}dx [/mm] =2* [mm] \integral_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^4}dx$
[/mm]
FRED
>
>
> Lg Peter
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Hallo Fred,
Es ist
[mm] $\integral_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{1+x^4}dx [/mm] = 0$
aber
[mm] $\integral_{0}^{\infty}\frac{x}{1+x^4}dx [/mm] = [mm] \frac{\pi}{4}$ [/mm]
mit [mm] $\frac{1}{2}\integral_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{1+x^4}dx [/mm] $ komme ich doch wieder auf 0...
aber gut - eventuell bin ich in der früh auch etwas Banane und übersehe da was....
lg Peter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:46 Mo 16.11.2015 | | Autor: | fred97 |
Es ging doch um dieses Integral
$ [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^4}dx [/mm] $.
Und nicht um dieses
$ [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{1+x^4}dx [/mm] $.
Oder hab ich was verpasst ?
FRED
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> Es ging doch um dieses Integral
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^4}dx [/mm].
Ja das ist richtig - bei der Form des obigen Integranden leuchtet mir das ein.
>
> Und nicht um dieses
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{1+x^4}dx [/mm].
Was mache ich allerdings bei einer allg. Form von [mm] \frac{P(x)}{Q(x)} [/mm] , wobei die Voraussetzungen gleich seien sollen - also Grad Q [mm] \ge [/mm] Grad P+2 und [mm] $Q(x)\neq [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \mathbb{R}$
[/mm]
>
> Oder hab ich was verpasst ?
>
> FRED
Lg Peter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:07 Mo 16.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Es ging doch um dieses Integral
> >
> > [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^4}dx [/mm].
> Ja das
> ist richtig - bei der Form des obigen Integranden leuchtet
> mir das ein.
> >
> > Und nicht um dieses
> >
> > [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{1+x^4}dx [/mm].
> Was
> mache ich allerdings bei einer allg. Form von
> [mm]\frac{P(x)}{Q(x)}[/mm] , wobei die Voraussetzungen gleich seien
> sollen - also Grad Q [mm]\ge[/mm] Grad P+2 und [mm]Q(x)\neq 0 \forall x \in \mathbb{R}[/mm]
Schau mal hier:
http://www.math.uni-hamburg.de/home/oberle/skripte/komplex/komplex-d-11.pdf
FRED
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> >
> > Oder hab ich was verpasst ?
> >
> > FRED
>
> Lg Peter
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