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| Aufgabe | Gegeben sei ein Vektorfeld [mm] \vec{V}(\vec{r})= \vec{w} [/mm] X [mm] \vec{r} [/mm] wobei [mm] \vec{w} [/mm] ein konstanter Vektor ist. Berechnen Sie
[mm] \integral_{\partial S}^{}{d\vec{r} * \vec{V}(\vec{r})} [/mm] für einen halbkreis mit Radius -R und R in der xy-Ebene.
a)Mit einem Linienintegral
b)Durch den Satz von Stokes
Hinweis:
Es gilt
[mm] \nabla [/mm] X [mm] (\vec{A} [/mm] X [mm] \vec{B}) [/mm] = [mm] \vec{A}(\nabla*\vec{B})-(\vec{A}* \nabla )\vec{A}-\vec{B}(\nabla*\vec{A})+ (\vec{B}*\nabla )\vec{A} [/mm] |
Servus Erdlinge,
bei a) keine Ahnung
b)
[mm] \integral_{\partial S}^{}{d\vec{r}*\vec{V}}= \integral_{S}^{}{d\sigma (\nabla X \vec{V}}) [/mm] = [mm] \integral_{S}^{}{d}(\sigma \nabla X(\vec{w}X\vec{r}))= \integral_{S}^{}{d}\sigma (\vec{w}(\nabla*\vec{r})-(\vec{w}*\nabla)\vec{r}-\vec{r}(\nabla*\vec{w})+(\vec{r}*\nabla)\vec{w}) [/mm]
Ist es jetzt nicht so das alle Terme(in der großen Klammer) in denen [mm] \vec{w} [/mm] vor kommt, ausser am Anfang und am Ende 0 werden? Weil die Divergenz von [mm] \vec{w} [/mm] ergibt ja null, weil er ein konstanter Vektor ist. Somit hätte ich am Ende nur noch zwei Terme die sind:
[mm] \vec{w}\underbrace{(\nabla*\vec{r})}_{=2}
[/mm]
und dann:
[mm] (2w_{1},2w_{2},0)+(2w_{1},2w_{2},0) [/mm] = [mm] (4w_{1},4w_{2},0)
[/mm]
Für das Integral dann:
[mm] \integral_{S}^{}{d}\sigma (4w_{1},4w_{2},0)
[/mm]
Mit Flächenelement:
[mm] \integral_{S}^{}{}dxdy (4w_{1},4w_{2},0)
[/mm]
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 Mi 27.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben sei ein Vektorfeld [mm]\vec{V}(\vec{r})= \vec{w}\times\vec{r}[/mm] wobei [mm]\vec{w}[/mm] ein konstanter Vektor ist. Berechnen
> Sie
> [mm]\integral_{\partial S}^{}{d\vec{r} * \vec{V}(\vec{r})}[/mm] für
> einen halbkreis mit Radius -R und R in der xy-Ebene.
>
> a)Mit einem Linienintegral
> b)Durch den Satz von Stokes
>
> Hinweis:
> Es gilt
>
> [mm]\nabla\times(\vec{A}\times\vec{B}) = \vec{A}(\nabla*\vec{B})-(\vec{A}* \nabla )\vec{A}-\vec{B}(\nabla*\vec{A})+ (\vec{B}*\nabla )\vec{A}[/mm]
>
> Servus Erdlinge,
>
> bei a) keine Ahnung
Wie ist denn ein Linienintegral definiert?
> b)
>
> [mm]\integral_{\partial S}^{}{d\vec{r}*\vec{V}}= \integral_{S}^{}{d\sigma (\nabla \times \vec{V}})[/mm]
> = [mm]\integral_{S}^{}{d}(\sigma \nabla \times(\vec{w}\times\vec{r}))= \integral_{S}^{}{d}\sigma (\vec{w}(\nabla*\vec{r})-(\vec{w}*\nabla)\vec{r}-\vec{r}(\nabla*\vec{w})+(\vec{r}*\nabla)\vec{w})[/mm]
Soweit ok.
> Ist es jetzt nicht so das alle Terme(in der großen
> Klammer) in denen [mm]\vec{w}[/mm] vor kommt, ausser am Anfang und
> am Ende 0 werden? Weil die Divergenz von [mm]\vec{w}[/mm] ergibt ja
> null, weil er ein konstanter Vektor ist.
Richtig, und aus demselben Grund [mm] $(\vec{r}*\nabla)\vec{w} [/mm] = 0$.
> Somit hätte ich
> am Ende nur noch zwei Terme die sind:
>
> [mm]\vec{w}\underbrace{(\nabla*\vec{r})}_{=2}[/mm]
Wieso denn 2, wir sind doch hier im 3-dim. Raum!
>
> und dann:
> [mm](2w_{1},2w_{2},0)+(2w_{1},2w_{2},0)[/mm] = [mm](4w_{1},4w_{2},0)[/mm]
Da verstehe ich überhaupt nicht, was du rechnest, wo kommen denn die Vorfaktoren 2 und die Summe her?
[mm] (\vec w*\vec \nabla) \vec r = \vec w [/mm],
wie du durch komponentenweise Rechnugn siehst. Z.B ist die x-Komponente davon
[mm] (\vec w*\vec \nabla) x = w_x *1 +w_y * 0 +w_z* 0=w_x [/mm], usw.
Also ist
[mm] (\vec{w}(\nabla*\vec{r})-(\vec{w}*\nabla)\vec{r}-\vec{r}(\nabla*\vec{w})+(\vec{r}*\nabla)\vec{w}) = 2\vec w [/mm] .
Damit ist der Integrand konstant:
[mm] \integral_{S}^{}{d}\sigma 2\vec w = 2\vec w \integral_{S}^{}{d}\sigma [/mm] .
Was ergibt denn dieses Flächenintegral?
Viele Grüße
Rainer
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Hey Rainer, vielen vielen Danke für die Mühe noch :)
Den Vorfaktoren 2 und die Summe hab ich raus weil ich das so gerechnet habe:
[mm] (\vec{w}\underbrace{(\nabla\cdot{}\vec{r})}_{=2}-0-0+\underbrace{(\vec{r}\cdot{}\nabla)}_{=2}\vec{w}) [/mm] = [mm] (4w_{1}+4w_{2},0) [/mm] (vektoraddition, die 2 ist ja dann ein normaler faktor)
Weil
[mm] (\nabla\cdot{}\vec{r}) [/mm] = [mm] \bruch{\partial}{\partial x}x+\bruch{\partial}{\partial y}y+0 [/mm] = 2
Ich versteh leider auch nicht wie du das gerechnet hast und [mm] (\vec{w}(\nabla\cdot{}\vec{r}) [/mm] = [mm] \vec{w}) [/mm] raus hast, weil es müsste doch wegen dem Skalarprodukt [mm] 2\vec{w} [/mm] raus kommen oder wie ist das genau?
Ein Skalarprodukt gibt ja wieder eine Zahl
In 2D weil ich doch das Integral über einen Halbkreis in der xy-Ebene machen soll, oder ist das falsch??
Das Flächenintegral:
[mm] \integral_{S}^{}{d}\sigma 2\vec{w} [/mm] = [mm] 2\vec{w} \integral_{S}^{}{d}\sigma [/mm] da bräuchte ich wahrscheinlich das Flächenelement der Polarkoordinaten und dann nach roh und phi integrieren, roh nach r und phi einfach von -R nach R oder?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:06 Do 28.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hey Rainer, vielen vielen Danke für die Mühe noch :)
>
> Den Vorfaktoren 2 und die Summe hab ich raus weil ich das
> so gerechnet habe:
>
> [mm](\vec{w}\underbrace{(\nabla\cdot{}\vec{r})}_{=2}-0-0+\underbrace{(\vec{r}\cdot{}\nabla)}_{=2}\vec{w})[/mm]
> = [mm](4w_{1}+4w_{2},0)[/mm] (vektoraddition, die 2 ist ja dann ein
> normaler faktor)
> Weil
>
> [mm](\nabla\cdot{}\vec{r})[/mm] = [mm]\bruch{\partial}{\partial x}x+\bruch{\partial}{\partial y}y+0[/mm]
> = 2
Nein, wieso steht da eine 0 am Schluss? Die Divergenz von [mm] $\vec [/mm] r$ ist 3:
[mm]\vec \nabla*\vec r= \bruch{\partial}{\partial x}x + \bruch{\partial}{\partial y}y + \bruch{\partial}{\partial z}z = 3 [/mm] .
> Ich versteh leider auch nicht wie du das gerechnet hast
> und [mm](\vec{w}(\nabla\cdot{}\vec{r})[/mm] = [mm]\vec{w})[/mm] raus hast,
Das habe ich auch nicht getan, das wäre falsch.
[mm] (\vec w*\vec\nabla)\vec r \not= \vec{w}(\nabla\cdot{}\vec{r}) [/mm]
> weil es müsste doch wegen dem Skalarprodukt [mm]2\vec{w}[/mm] raus
> kommen oder wie ist das genau?
Schreib es dir vollständig in Komponenten hin:
[mm] (\vec w*\vec \nabla) \vec r = w_x\bruch{\partial}{\partial x}\vec r + w_y\bruch{\partial}{\partial y}\vec r + w_z\bruch{\partial}{\partial z}\vec r =w_x \vektor{1\\0\\0} + w_y \vektor{0\\1\\0} + w_z\vektor{0\\0\\1} = \vec w[/mm] .
> Ein Skalarprodukt gibt ja wieder eine Zahl
> In 2D weil ich doch das Integral über einen Halbkreis in
> der xy-Ebene machen soll, oder ist das falsch??
Aber du darfst nicht vor der Ableitung alle z-Komponenten 0 setzen. Erst ableiten, dann einsetzen!
>
> Das Flächenintegral:
> [mm]\integral_{S}^{}{d}\sigma 2\vec{w}[/mm] = [mm]2\vec{w} \integral_{S}^{}{d}\sigma[/mm]
> da bräuchte ich wahrscheinlich das Flächenelement der
> Polarkoordinaten und dann nach roh und phi integrieren, roh
> nach r und phi einfach von -R nach R oder?
Nein, das ist völlig unnötig. Was ist [mm] $\integral_{S}^{}{d}\sigma$ [/mm] geometrisch ?
Viele Grüße
Rainer
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Hoi,
Ja danke das mit dem w ist mir jetzt klar. Hätte es gleich erst mal ausführlich rechnen sollen. Und [mm] d\sigma [/mm] ist dann wahrscheinlich einfach dxdy oder?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:14 Fr 29.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hoi,
> Ja danke das mit dem w ist mir jetzt klar. Hätte es
> gleich erst mal ausführlich rechnen sollen. Und [mm]d\sigma[/mm]
> ist dann wahrscheinlich einfach dxdy oder?
Du musst die Fläche geeignet parametrisieren.
Aber völlig unabhängig davon ist [mm] $\integral_S d\sigma$ [/mm] der Flächeninhalt von S.
Viele Grüße
Rainer
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