matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Analysis-SonstigesIntegral, Stokes, Schnittkurve
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Integral, Stokes, Schnittkurve
Integral, Stokes, Schnittkurve < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Integral, Stokes, Schnittkurve: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:09 Mi 30.01.2013
Autor: sissile

Aufgabe
Seien E und P die folgenden Flächen im $ [mm] \IR^3 [/mm] $ :

E:= [mm] \{ (x,y,z)\in \IR^3|z=2x+2y-1 \} [/mm] ;
P:= [mm] \{ (x,y,z)\in \IR^3|z=x^2+y^2 \} [/mm] .

Wir definieren eine Kurve $ [mm] \gamma [/mm] $ in $ [mm] \IR^3 [/mm] $ als $ [mm] \gamma [/mm] $ := E $ [mm] \cap [/mm] $ P.

Berechne $ [mm] \integral_{\gamma}^{}{z dx + x dy + y dz} [/mm] $

a) direkt

b) mit Hilfe des Satzes von Stokes, angewandt auf die beschränkte Teilmenge von E
berandet von $ [mm] \gamma [/mm] $


E ist eine Ebene mit normalvektor: (-2,-2,1)

Illustration in x-z Ebene:
P ist eine nach oben geöffnete Parabel mit scheitelpunkt (0,0)
E ist eine Gerade mit Steigung 2.
Der Schnittpunkt ist bei (1,1)
Warum ist da nur sien scnittpunkt? Müsste die ebene nicht auch wieder rausgehen aus dem Paraboloid??

Schneiden voN E und P
2x +2y -1 = [mm] x^2 +y^2 [/mm]
<=> -1 = [mm] (x-2)^2 [/mm] + [mm] (y-2)^2 [/mm] -8
<=> 7 = [mm] (x-2)^2 [/mm] + [mm] (y-2)^2 [/mm]
Kreis mit Radius [mm] \sqrt{7} [/mm] und Mittelpunkt (2,2)

1)
Parameterisierung der SChnittkurve
x= 2 + [mm] \sqrt{7} [/mm] cos [mm] \phi [/mm]
y= 2 + [mm] \sqrt{7} [/mm] sin [mm] \phi [/mm]
z = 2(2 + [mm] \sqrt{7} [/mm] cos [mm] \phi) [/mm] + 2*(2 + [mm] \sqrt{7} [/mm] sin [mm] \phi) [/mm] -1 = 7 + 2 [mm] \sqrt{7} [/mm] cos [mm] \phi [/mm] + 2 [mm] \sqrt{7} [/mm] sin [mm] \phi [/mm]
wobei [mm] \phi \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi] [/mm]

-> [mm] \int_{\gamma} [/mm] z dx + x dy + y dz = [mm] \int_0^{2\pi} [/mm]  7 + 2 [mm] \sqrt{7} [/mm] cos [mm] \phi [/mm] + 2 [mm] \sqrt{7} [/mm] sin [mm] \phi [/mm] d (2 + [mm] \sqrt{7} [/mm] cos [mm] \phi) [/mm] + 2 + [mm] \sqrt{7} [/mm] cos [mm] \phi [/mm] d(2 + [mm] \sqrt{7} [/mm] sin [mm] \phi) [/mm] + 2 + [mm] \sqrt{7} [/mm] sin [mm] \phi [/mm] d( 7 + 2 [mm] \sqrt{7} [/mm] cos [mm] \phi [/mm] + 2 [mm] \sqrt{7} [/mm] sin [mm] \phi) [/mm]
was das zu berechnen wäre^^

2) Parameterisieren die beschränkte Teilmenge von E
berandet von $ [mm] \gamma [/mm] $
[mm] \phi(u,v)= \vektor{u+2 \\ v+2 \\2*(u+2)+2*(v+2)-1} [/mm]
- [mm] \sqrt{7} [/mm] <= u <= [mm] \sqrt{7} [/mm]
- [mm] \sqrt{\sqrt{7} - u^2} \le [/mm] v [mm] \le \sqrt{\sqrt{7} - u^2} [/mm]
Ich glaub was ich da versuche zu parameterisieren ist die von [mm] \gamma [/mm] und P eingeschlossene Fläche und nicht von E?
Was heißt uberhaupt von einer ebene und eine Kurve die Schnittfläche=? Kann es sein das man P statt E meint?

Bitte um Korrektur!!

        
Bezug
Integral, Stokes, Schnittkurve: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:44 Mi 30.01.2013
Autor: sissile

Oder ist hier die erste Methode eher ala Kurvenintegral
[mm] \int_\gamma [/mm] F.ds = [mm] \int F(\Phi(\phi)). \Phi' (\phi) [/mm] d [mm] \phi [/mm]


Parameterisierung war:
x= 2 + $ [mm] \sqrt{7} [/mm] $ cos $ [mm] \phi [/mm] $
y= 2 + $ [mm] \sqrt{7} [/mm] $ sin $ [mm] \phi [/mm] $
z = 7 + 2 $ [mm] \sqrt{7} [/mm] $ cos $ [mm] \phi [/mm] $ + 2 $ [mm] \sqrt{7} [/mm] $ sin $ [mm] \phi [/mm] $
wobei $ [mm] \phi \in [/mm] $ [0, 2 $ [mm] \pi] [/mm] $

[mm] \Phi (\phi) [/mm] = [mm] \vektor{2 + \sqrt{7} cos \phi \\ 2 + \sqrt{7}sin\phi \\ 7 + 2 \sqrt{7} cos \phi + 2 \sqrt{7}sin \phi} [/mm]

[mm] \Phi [/mm] ' [mm] (\phi) [/mm] = [mm] \vektor{- \sqrt{7} sin \phi \\ \sqrt{7} cos \phi \\ -2 \sqrt{7} sin \phi + 2 \sqrt{7} cos \phi} [/mm]
Was ist aber dann das Kraftfeld F?

Bezug
                
Bezug
Integral, Stokes, Schnittkurve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:27 Do 31.01.2013
Autor: MathePower

Hallo sissile,



> Oder ist hier die erste Methode eher ala Kurvenintegral
>  [mm]\int_\gamma[/mm] F.ds = [mm]\int F(\Phi(\phi)). \Phi' (\phi)[/mm] d
> [mm]\phi[/mm]
>  
>
> Parameterisierung war:
>  x= 2 + [mm]\sqrt{7}[/mm] cos [mm]\phi[/mm]
>  y= 2 + [mm]\sqrt{7}[/mm] sin [mm]\phi[/mm]
>  z = 7 + 2 [mm]\sqrt{7}[/mm] cos [mm]\phi[/mm] + 2 [mm]\sqrt{7}[/mm] sin [mm]\phi[/mm]
>  wobei [mm]\phi \in[/mm] [0, 2 [mm]\pi][/mm]
>  
> [mm]\Phi (\phi)[/mm] = [mm]\vektor{2 + \sqrt{7} cos \phi \\ 2 + \sqrt{7}sin\phi \\ 7 + 2 \sqrt{7} cos \phi + 2 \sqrt{7}sin \phi}[/mm]
>  


Diese Parametrisierung stimmt nicht.


>  
> [mm]\Phi[/mm] ' [mm](\phi)[/mm] = [mm]\vektor{- \sqrt{7} sin \phi \\ \sqrt{7} cos \phi \\ -2 \sqrt{7} sin \phi + 2 \sqrt{7} cos \phi}[/mm]
>  
> Was ist aber dann das Kraftfeld F?


Zu Berechnen ist doch  [mm] \integral_{\gamma}^{}{z dx + x dy + y dz} [/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
Integral, Stokes, Schnittkurve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:36 Do 31.01.2013
Autor: Richie1401

Hallo sissile,

> Seien E und P die folgenden Flächen im [mm]\IR^3[/mm] :
>  
> E:= [mm]\{ (x,y,z)\in \IR^3|z=2x+2y-1 \}[/mm] ;
>  P:= [mm]\{ (x,y,z)\in \IR^3|z=x^2+y^2 \}[/mm] .
>  
> Wir definieren eine Kurve [mm]\gamma[/mm] in [mm]\IR^3[/mm] als [mm]\gamma[/mm] := E
> [mm]\cap[/mm] P.
>  
> Berechne [mm]\integral_{\gamma}^{}{z dx + x dy + y dz}[/mm]
>  
> a) direkt
>  
> b) mit Hilfe des Satzes von Stokes, angewandt auf die
> beschränkte Teilmenge von E
>  berandet von [mm]\gamma[/mm]
>  
> E ist eine Ebene mit normalvektor: (-2,-2,1)
>  
> Illustration in x-z Ebene:
>  P ist eine nach oben geöffnete Parabel mit scheitelpunkt
> (0,0)
> E ist eine Gerade mit Steigung 2.
>  Der Schnittpunkt ist bei (1,1)
>  Warum ist da nur sien scnittpunkt? Müsste die ebene nicht
> auch wieder rausgehen aus dem Paraboloid??
>  
> Schneiden voN E und P
>  2x +2y -1 = [mm]x^2 +y^2[/mm]
>  <=> -1 = [mm](x-\red{2})^2[/mm] + [mm](y-\red{2})^2[/mm] -8

Das solltest du dir aber noch einmal ganz genau anschauen.

>  <=> 7 = [mm](x-2)^2[/mm] + [mm](y-2)^2[/mm]

>  Kreis mit Radius [mm]\sqrt{7}[/mm] und Mittelpunkt (2,2)

Außerdem ist das Kurveintegral in der Tat so definiert, wie bei dir in der Anhangsfrage aufgeschrieben.
Parametrisierung mit [mm] \sin [/mm] und [mm] \cos [/mm] ist ok, aber obiges stimmt eben schon nicht, daher einfach noch einmal starten.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]