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| Aufgabe | Verifizieren Sie die folgende Gleichung, indem Sie beide Seiten nach x und y ableiten:
[mm] ln\frac{x}{y}=\int^{\infty}_0{\frac{e^{-yt}-e^{-xt}}{t}}dt [/mm] |
Hallo,
die rechte Seite jeweils nach x bzw. y zu differenzieren ist kein Problem, aber wie macht man das mit dem Integral.
Theoretisch müsste ich erst eine Stammfunktion finden und die dann differenzieren, oder?
Das ist aber dann auch schon wieder so ein Problem.
Wie komme ich da an eine Stammfunktion?
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Hallo T_sleeper,
> Verifizieren Sie die folgende Gleichung, indem Sie beide
> Seiten nach x und y ableiten:
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> [mm]ln\frac{x}{y}=\int^{\infty}_0{\frac{e^{-yt}-e^{-xt}}{t}}dt[/mm]
> Hallo,
>
> die rechte Seite jeweils nach x bzw. y zu differenzieren
> ist kein Problem, aber wie macht man das mit dem Integral.
> Theoretisch müsste ich erst eine Stammfunktion finden und
> die dann differenzieren, oder?
> Das ist aber dann auch schon wieder so ein Problem.
> Wie komme ich da an eine Stammfunktion?
Eine Stammfunktion benötigst Du hier nicht.
Da die Intervallgrenzen nicht von x bzw. y abhängig ist,
ist die Ableitung nach x bzw. y äquivalent mit dem Integral
über die entsprechende Ableitung des Integranden.
Gruss
MathePower
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> Eine Stammfunktion benötigst Du hier nicht.
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> Da die Intervallgrenzen nicht von x bzw. y abhängig ist,
> ist die Ableitung nach x bzw. y äquivalent mit dem
> Integral
> über die entsprechende Ableitung des Integranden.
>
>
> Gruss
> MathePower
>
Achso, dann muss ich die rechte Seite einfach nur nach t ableiten?
Aber dann werde ich doch trotzdem noch etwas mit dem integral anstellen müssen, ich kann es da ja nicht so stehen lassen, sonst verifiziere ich die Gleichung doch nicht.
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Hallo T_sleeper,
> > Eine Stammfunktion benötigst Du hier nicht.
> >
> > Da die Intervallgrenzen nicht von x bzw. y abhängig ist,
> > ist die Ableitung nach x bzw. y äquivalent mit dem
> > Integral
> > über die entsprechende Ableitung des Integranden.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
> >
>
> Achso, dann muss ich die rechte Seite einfach nur nach t
> ableiten?
Den Integranden differenzierst Du nach x bzw. y.
Nun , es steht ja:
[mm]\bruch{\partial}{\partial x}\left( \ ln\frac{x}{y} \ \right)=\bruch{\partial}{\partial x}\left( \ \int^{\infty}_0{\frac{e^{-yt}-e^{-xt}}{t}}dt \right)[/mm]
bzw.
[mm]\bruch{\partial}{\partial y}\left( \ ln\frac{x}{y} \ \right)=\bruch{\partial}{\partial y}\left( \ \int^{\infty}_0{\frac{e^{-yt}-e^{-xt}}{t}}dt \right)[/mm]
> Aber dann werde ich doch trotzdem noch etwas mit dem
> integral anstellen müssen, ich kann es da ja nicht so
> stehen lassen, sonst verifiziere ich die Gleichung doch
> nicht.
Damit Du auf der rechten Seite Differentiation mit Integration vertauschen darfst mußt Du zeigen, daß der Integrand und seine partiellen Ableitungen nach x und y stetig sind.
Gruss
MathePower
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> Damit Du auf der rechten Seite Differentiation mit
> Integration vertauschen darfst mußt Du zeigen, daß der
> Integrand und seine partiellen Ableitungen nach x und y
> stetig sind.
>
>
> Gruss
> MathePower
>
Gut, das ist hier ja sehr offensichtlich.
Aber zu einem praktischeren Problem.
Wenn ich nach y differenziere, erhalte ich unterschiedliche Ergebnisse, also konkret:
[mm]
\frac{\partial}{\partial y}\mbox{ln}(\frac{x}{y}) & = & \int\frac{\partial}{\partial y}(\frac{e^{-yt}-e^{-xt}}{t})dt\\
\Rightarrow\frac{1}{y} & = & \int-e^{-yt}dt\\
& = & \frac{e^{-yt}}{y}|_{0}^{\infty}\\
& = & -\frac{1}{y}
[/mm]
Wo habe ich mich denn nun vertan?
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Hallo T_sleeper,
> > Damit Du auf der rechten Seite Differentiation mit
> > Integration vertauschen darfst mußt Du zeigen, daß der
> > Integrand und seine partiellen Ableitungen nach x und y
> > stetig sind.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
> >
>
> Gut, das ist hier ja sehr offensichtlich.
> Aber zu einem praktischeren Problem.
> Wenn ich nach y differenziere, erhalte ich
> unterschiedliche Ergebnisse, also konkret:
> [mm]
\frac{\partial}{\partial y}\mbox{ln}(\frac{x}{y}) & = & \int\frac{\partial}{\partial y}(\frac{e^{-yt}-e^{-xt}}{t})dt\\
\Rightarrow\frac{1}{y} & = & \int-e^{-yt}dt\\
& = & \frac{e^{-yt}}{y}|_{0}^{\infty}\\
& = & -\frac{1}{y}
[/mm]
>
> Wo habe ich mich denn nun vertan?
Die partielle Ableitung nach y von [mm]\ln\left(\bruch{x}{y}\right)[/mm]
ist nicht richtig gebildet worden.
Gruss
MathePower
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