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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Integral abschätzen
Integral abschätzen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Integral abschätzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:54 So 23.07.2017
Autor: Herzblatt

Aufgabe
Sei [mm] f:\IC \to \IC [/mm] eine stetige FUnktion, so dass f(z) [mm] \in \IR [/mm] für alle z [mm] \in \IC. [/mm] Zeige, dass wenn [mm] |f(z)|\le [/mm] 1 und wenn [mm] \gamma =\{e^{it} : t \in [0,2\pi ]\} [/mm] dann
[mm] \left| \int_{\gamma}f(z) dz \right| \le [/mm] 4.

Hinweis: Zeige zunächst, dass
[mm] \left| \int_{\gamma}f(z) dz \right| \le \int_{0}^{2\pi} [/mm] |sin(t)|dt


Wie man vom Hinweis auf das zu beweisende kommt, ist mir klar.
Um den Hinweis zu zeigen habe ich bis jetzt:

[mm] \left| \int_{\gamma}f(z) dz \right| \le \int_{\gamma}\left|f(z)\right| [/mm] dz [mm] \le \int_{\gamma} [/mm] 1 dz = [mm] \int_{0}^{2\pi} ie^{it} [/mm] dt

Stimmt das bis jetzt so? Weil das letzte Integral kann ich berechnen und wäre meiner Meinung nach 0 was ja eigentlich nicht sein kann oder?

Wie bekomme ich jetzt die Abschätzung mit sinus?
ich weiss, dass [mm] sin(t)=\frac{1}{2i}(e^{it}-e^{-it}) [/mm]
Hilft mir das vielleicht weiter?

        
Bezug
Integral abschätzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:42 Di 25.07.2017
Autor: korbinian

Hallo,
  

> [mm]\left| \int_{\gamma}f(z) dz \right| \le \int_{\gamma}\left|f(z)\right|dz \le \int_{\gamma}[/mm] 1 dz = [mm]\int_{0}^{2\pi} ie^{it}[/mm] dt
>  
> Stimmt das bis jetzt so?

Leider nein, Kurvenintegrale sind i.a. komplexe Zahlen und die können nicht mit "<" verglichen werden.
gruß
korbinian

Bezug
                
Bezug
Integral abschätzen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 01:09 Fr 28.07.2017
Autor: Herzblatt


> Hallo,
>    
> > [mm]\left| \int_{\gamma}f(z) dz \right| \le \int_{\gamma}\left|f(z)\right|dz \le \int_{\gamma}[/mm]
> 1 dz = [mm]\int_{0}^{2\pi} ie^{it}[/mm] dt
>  >  
> > Stimmt das bis jetzt so?
> Leider nein, Kurvenintegrale sind i.a. komplexe Zahlen und
> die können nicht mit "<" verglichen werden.
>  gruß
>  korbinian

Ok, und wie gehe ich dann vor? Vielleicht ein Tipp? :-)


Bezug
                        
Bezug
Integral abschätzen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:20 So 30.07.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Integral abschätzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:23 Mo 31.07.2017
Autor: fred97

Die Aufgabe ist reizvoll, ich glaube ich habs ...

Sei [mm] $I=\int_0^{2 \pi} f(e^{it})ie^{it} [/mm] dt$. Dann ist mit einem $a [mm] \in \IR$: [/mm]

[mm] $I=|I|e^{-ia}$, [/mm] also

[mm] $|I|=e^{-ia}I$. [/mm]

Es folgt, wegen [mm] $\overline{|I|}=I$ [/mm] und  [mm] f(e^{it}) \in \IR: [/mm]

[mm] $2|I|=e^{ia}\int_0^{2 \pi} f(e^{it})ie^{it} dt+e^{-ia}\int_0^{2 \pi} f(e^{it})(-ie^{-it}) [/mm] dt$.

Nach einiger Rechnung, die ich nicht aufführe, bekommt man:

$2|I|=-2 [mm] \int_0^{2 \pi} f(e^{it}) \sin(t+a)dt$ [/mm] und daraus

$|I| [mm] \le \int_0^{2 \pi} |\sin(t+a)|dt=\int_a^{a+2 \pi} |\sin(t)|dt=\int_0^{2 \pi} |\sin(t)|dt$ [/mm] .



Bezug
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