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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 Mo 26.01.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei a <c < b und f:[a,b] [mm] \to \mathbb{R} [/mm] beschränkt.
f ist R-integrierbar [mm] \gdw f|_{[a,c]} [/mm] und [mm] f|_{[c,b]} [/mm] R-integrierbar
In diesem Fall gilt [mm] \int_a^b [/mm] f= [mm] \int_a^c [/mm] f+ [mm] \int_c^b [/mm] f |
[mm] \Rightarrow)
[/mm]
f ist R-integrierbar d.h. [mm] \exists \psi,\phi \in \tau(a,b) [/mm] mit [mm] \phi \le [/mm] f [mm] \le \psi [/mm] mit 0 [mm] \le \int_a^b (\psi-\phi) [/mm] (x) dx [mm] \le \epsilon
[/mm]
Es gilt: [mm] \phi|_{[a,c]}\le f|_{[a,c]} \le \psi|_{[a,c]}
[/mm]
[mm] \phi|_{[c,b]}\le f|_{[a,c]} \le \psi|_{[c,b]}
[/mm]
Nun ist zuzeigen: 0 [mm] \le \int_a^c (\psi|_{[a,c]}-\phi|_{[a,c]}) [/mm] (x) dx [mm] \le \epsilon
[/mm]
Da bin ich mir unsicher, wie ich die Abschätzung machen muss, da ich die Grenzen verändern muss??
Andere Methode:
Ich hab gedacht, dass ich es vlt mit Riemannsummen und dem Theorem, dass eine beschränkte Funktion auf [a,b] genau dann R-integrierbar (Oberintegral=Unterintegral) ist wenn $ [mm] \exists [/mm] $ s $ [mm] \in \IR [/mm] $ mit der Aussage: $ [mm] \forall \epsilon>0 \exists \delta>0 [/mm] $ so dass für jede Zerlegung und Belegung, zusammengefasst als $ [mm] B=((x_k)_{k=0}^{n}), (\epsilon_j)_{j=1}^{n}) [/mm] $ mit $ [mm] \mu(B)<\delta(Feinheit [/mm] $ der Zerlegung) gilt:
$ [mm] |S(B,f)-s|\le \epsilon [/mm] $
In diesem Fall $ [mm] s=\int_a^b [/mm] $ f(x) dx
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ )
Sei Z: $ [mm] a=x_0
Zusammengefasst als $ [mm] B=((x_k)_{k=0}^{n}, (\epsilon_j)_{j=1}^{n}) [/mm] $
Nach Voraussetzung gilt $ [mm] \forall \epsilon>0 \exists \delta>0 [/mm] $ so dass für $ [mm] \mu(B)< \delta [/mm] $ (Feinheit der Zerlegung) gilt: | $ [mm] S(B,f)-\int_a^b [/mm] $ f(x) dx| $ [mm] \le \epsilon [/mm] $
Wenn $ [mm] \exists [/mm] $ k $ [mm] \in \{1,..n\} [/mm] $ : $ [mm] x_k=c [/mm] $ dann kann ich die Zerlegung sowie die Belegung auseinander teilen. Sei $ [mm] x_{k_0}=c [/mm] $
$ [mm] B_1=((x_k)_{k=0}^{k_0},(\epsilon_j)_{j=1}^{k_0}) [/mm] $
$ [mm] B_2=((x_k)_{k_0}^{n},(\epsilon_j)_{k_0 +1}^{n}) [/mm] $
$ [mm] S(B,f)=\sum_{k=1}^n f(\epsilon_k) (x_k-x_{k-1})=\sum_{k=1}^{k_0} f|_{[a,c]}(\epsilon_k) (x_k-x_{k-1})+\sum_{k=k_0+1}^n f|_{[c,b]}(\epsilon_k) (x_k-x_{k-1}) [/mm] $ = $ [mm] S(B_1, f|_{[a,c]}) +S(B_2,f|_{[c,b]}) [/mm] $
Noch zuzeigen:
$ [mm] \forall \epsilon_1>0 \exists \delta_1>0 [/mm] $ so dass für $ [mm] \mu(B_1)<\delta_1: |S(B_1, f|_{[a,c]} [/mm] $ - $ [mm] \int_a^c f|_{[a,c]}| <\epsilon_1 [/mm] $
sowie
$ [mm] \forall \epsilon_2>0 \exists \delta_2>0 [/mm] $ so dass für $ [mm] \mu(B_2)<\delta_2: |S(B_2, f|_{[c,b]} [/mm] $ - $ [mm] \int_c^b f|_{[c,b]}| <\epsilon_2 [/mm] $
Ich hab nur:
$ [mm] |S(B_1, f|_{[a,c]}) +S(B_2,f|_{[c,b]})-\int_a^b [/mm] $ f(x) dx|=| $ [mm] S(B,f)-\int_a^b [/mm] $ f(x) dx| $ [mm] \le \epsilon [/mm] $
Ich weiß aber nun nicht zubegründen: $ [mm] \int_a^b [/mm] $ f= $ [mm] \int_a^c [/mm] $ f + $ [mm] \int_c^b [/mm] $ f um das zuzeigende zu beweisen.
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 Mo 26.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo sissili
du musst doch nur [mm] \delta_1 [/mm] und [mm] \delta [/mm] 2 so wählen, dass beide Riemansummen -Integral < [mm] \epsilon(2 [/mm] sind. dann vist du fertig. umgekehrt kannst du dann in jede zerlegun die c nicht enthält c einfügen und erhälst einen feinere unterteilung.
Gruß ledum
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:33 Di 27.01.2015 | | Autor: | sissile |
> Hallo sissili
> du musst doch nur [mm]\delta_1[/mm] und [mm]\delta[/mm] 2 so wählen, dass
> beide Riemansummen -Integral < [mm]\epsilon(2[/mm] sind. dann vist
> du fertig.
Ja genau das hab ich in Beitrag 1 aufgeschrieben:
Es ist ZZ.:
$ [mm] \forall \epsilon_1>0 \exists \delta_1>0 [/mm] $ so dass für $ [mm] \mu(B_1)<\delta_1: |S(B_1, f|_{[a,c]}) [/mm] $ - $ [mm] \int_a^c f|_{[a,c]}| <\epsilon_1 [/mm] $
sowie
$ [mm] \forall \epsilon_2>0 \exists \delta_2>0 [/mm] $ so dass für $ [mm] \mu(B_2)<\delta_2: |S(B_2, f|_{[c,b]}) [/mm] $ - $ [mm] \int_c^b f|_{[c,b]}| <\epsilon_2 [/mm] $
[mm] \delta_1 [/mm] und [mm] \delta_2 [/mm] hab ich gleich [mm] \delta [/mm] gewählt so dass
[mm] |S(B,f)-\int_a^b [/mm] f(x) dx| [mm] \le \epsilon [/mm]
Ich scheitere an dem wie, was zuzeigen ist, ist mir klar.
Wenn du was anderes mit deinen Beitrag meintest wäre ich dankbar, wenn du nochmal erklärst was du meinst.
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 Do 29.01.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Achso hatte ganz vergessen zu schreiben. Hab es schon hinbekommen.
Danke.
LG,
sissi
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