Integral ausrechnen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 Di 13.09.2011 | | Autor: | frank85 |
| Aufgabe | Berechne die folgenden Integrale:
[mm] \integral_{[0,1]^2} [/mm] {(x*y*(x+y))dxdy} |
Ich dachte das es vielleicht so geht:
[mm] \integral_{[0,1]^2} [/mm] {xy(x+y)dxdy}
[mm] =\integral_{[0,1]^2} {(x^2y+xy^2)dxdy}
[/mm]
[mm] =\integral_{[0,1]^2} {(xy^2)dxdy} [/mm] + [mm] \integral_{[0,1]^2} {(y^2*x)dxdy}
[/mm]
[mm] =\integral_{[0,1]} {x^2 dx} [/mm] * [mm] \integral_{[0,1]} [/mm] {y dy} + [mm] \integral_{[0,1]} [/mm] {x dx} * [mm] \integral_{[0,1]} {y^2 dy}
[/mm]
=1/3 [mm] x^3 [/mm] * 1/2 [mm] y^2 [/mm] + 1/2 [mm] x^2 [/mm] * 1/3 [mm] y^2 [/mm] von 0 bis 1
Stimmt das soweit?
Danke für antworten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Di 13.09.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Berechne die folgenden Integrale:
> [mm]\integral_{[0,1]^2}[/mm] {(x*y*(x+y))dxdy}
> Ich dachte das es vielleicht so geht:
> [mm]\integral_{[0,1]^2}[/mm] {xy(x+y)dxdy}
> [mm]=\integral_{[0,1]^2} {(x^2y+xy^2)dxdy}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{[0,1]^2} {(xy^2)dxdy}[/mm] + [mm]\integral_{[0,1]^2} {(y^2*x)dxdy}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{[0,1]} {x^2 dx}[/mm] * [mm]\integral_{[0,1]}[/mm] {y dy} +
> [mm]\integral_{[0,1]}[/mm] {x dx} * [mm]\integral_{[0,1]} {y^2 dy}[/mm]
> =1/3
> [mm]x^3[/mm] * 1/2 [mm]y^2[/mm] + 1/2 [mm]x^2[/mm] * 1/3 [mm]y^2[/mm] von 0 bis 1
> Stimmt das soweit?
> Danke für antworten
Ja, das stimmt.
[mm] $\integral_{[0,1]^2} {(x^2y+xy^2)dxdy}$ [/mm]
bedeutet nichts anderes als:
[mm] $=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left(x^{2}y+xy^{2}\right)\:\mathrm{d}x\:\mathrm{d}y$
[/mm]
Die Integration kannst Du (nach Fubini) einfach nacheinander ausführen, also so:
[mm] $\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left(x^{2}y+xy^{2}\right)\:\mathrm{d}x\:\mathrm{d}y=\int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{1}\left(x^{2}y+xy^{2}\right)\:\mathrm{d}x\right]\:\mathrm{d}y$
[/mm]
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Di 13.09.2011 | | Autor: | frank85 |
Kommt nach einsetzen der Grenzen dann auch 1/3 dabei heraus?
Danke schööön!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Di 13.09.2011 | | Autor: | notinX |
> Kommt nach einsetzen der Grenzen dann auch 1/3 dabei
> heraus?
Ja.
> Danke schööön!
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