Integral bei Geschwindigkeit < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Fr 02.06.2006 | | Autor: | scounce |
| Aufgabe 1 | | Ein Autofahrer ist mit einer konstanten Geschwindigkeit von v0=108 km/h = 30 m/s unterwegs. Plötzlich läuft etwa 100m vor ihm ein Reh auf die Straße. Gelingt es ihm noch vor dem Reh anzuhalten, wenn die Bremsverzögerung bei einer Vollbremsung -7,5 m/s² beträgt? |
| Aufgabe 2 | | Im zweiten Teil der Aufgabe 1 wurde für die Funktion v ein linearer Funktionsterm v(t) = [mm] v_0 [/mm] + a*t gefunden. Zeigen sie, dass man v(t) auch mit dem Integral v= [mm] \integral_{0}^{1} a(z)\, [/mm] dz berechnen kann. |
| Aufgabe 3 | Weg-Zeit-Funktion bei einer von Null verschiedenen Startzeit:
Zeigen Sie: Für die Länge s des im Zeitintervall [mm] [t_0; t_A] [/mm] zurückgelegten Weges s gilt:
s = [mm] \integral_{t_0}^{t_A} v(z)\, [/mm] dz
Erläutern Sie folgende Begründung hierfür: Die Weg-Zeit-Funktion s ist eine Stammfunktion der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion v mit v(t). Es gilt also:
s(t) = [mm] \integral_{t_0}^{t} v(z)\, [/mm] dz + [mm] s_0
[/mm]
Hierbei ist [mm] s_0 [/mm] der bis zum Zeitpunkt [mm] t_0 [/mm] zurückgelegte Weg [mm] s(t_0). [/mm] Der im Zeitintervall [mm] [t_0; t_A] [/mm] zurückgelegte Weg hat die Länge:
[mm] \integral_{t_0}^{t_A} v(z)\, [/mm] dz |
| Aufgabe 4 | Weg-Zeit-Funktion mit Anfangsgeschwindigkeit und bereits zurückgelegtem Weg
Wie lautet die Weg-Zeit-Funktion s mit s(t), wenn zum Zeitpunkt t = 0 die Geschwindigkeit [mm] v_0 [/mm] von 0 verschieden und schon die Weglänge [mm] s_0 [/mm] zurückgelegt ist. |
Hallo
Erstmal ich bin noch ganz neu hier, habe mir aber Eure Regeln durchgelesen, ich hoffe ich mach alles soweit richtig und wenn nicht, korrigiert mich bitte ;)
Ich muss eine GFS (= Referat) über "Anwenden des Integrals bei Geschwindigkeit und Beschleunigung" machen.
Nun gibt es bei uns im Mathebuch eine Einstiegsaufgabe zu dem Thema, wo man den Anhalteweg ausrechnet mit Hilfe zweier Rechnungen (Reaktionsweg und Bremsweg).
Das eigentliche Problem ist eine weiterführende Aufgabe, ich bin mir nicht sicher, ob die Aufgabe 1, die ich nun trotzdem mal schildere dazu notwendig ist.
Aufgabe 1 konnte ich lösen:
1. Reaktionsweg: Reaktionszeit ist ebenfalls mit 1 sek. (Schrecksekunde) gegeben. Man macht also das Integral von 30, als untere Grenze 0, als obere 1. Heraus kommt dann 30m.
2. Bremsweg: Da wir eine konstante Bremsverzögerung von -7,5 annehmen, verringert sich die Geschwindigkeit linear von v 0 = v(0) = 30 vom Beginn des Bremsvorgangs t=0 auf v(tB)=0 zum Ende des Bremsvorgangs t=tB. Die Funktion v lässt sich somit durch einen linearen Funktionsterm beschreiben: v(t) = v0+a*t = 30+(-7,5)*t
Die Abbremszeit ist die Nullstelle von v (Das war dazu angegeben):
v(tB)=0, also 0 = 30-7,5*tB und damit gilt tB=4.
Dann integriert man das ganze mit der nun gegebenen Zeit und man kommt am Ende auf 60m. Das addiert mit den 30m von zuvor ergibt 90m, somit kommt er vor dem Reh zum stehen. Die Aufgabe habe ich auch dann hinbekommen und soweit verstanden.
Nun aber zum eigentlichen Problem:
"Weiterführende Aufgaben":
2. Aufgabe: Bestimmung der Geschwindigkeit mithilfe des Integrals
Ich weiß, dass mit a die Beschleunigung gemeint ist, was mir aber unklar ist, was das z hier soll oder was ich dafür einsetzen soll :(
Das "z" taucht dann noch in den darauffolgenden Aufgaben 3. und 4. auf, was diese ebenfalls unverständlich für mich macht:
3. Aufgabe: Auch hier weiß ich nichts mit z anzufangen oder ob ich da irgendwas aus Aufgabe 1 einsetzen soll.. :-/
4. Hat hier einer einen Ansatz/Tipp?
Ich wäre Euch sehr verbunden, wenn mir einer oder mehrere dabei helfen könnten :)
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/71427,0.html
bye
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 Fr 02.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Stefan
> Ein Autofahrer ist mit einer konstanten Geschwindigkeit von
> v0=108 km/h = 30 m/s unterwegs. Plötzlich läuft etwa 100m
> vor ihm ein Reh auf die Straße. Gelingt es ihm noch vor dem
> Reh anzuhalten, wenn die Bremsverzögerung bei einer
> Vollbremsung -7,5 m/s² beträgt?
> Im zweiten Teil der Aufgabe 1 wurde für die Funktion v ein
> linearer Funktionsterm v(t) = [mm]v_0[/mm] + a*t gefunden. Zeigen
> sie, dass man v(t) auch mit dem Integral v=
> [mm]\integral_{0}^{1} a(z)\,[/mm] dz berechnen kann.
> Weg-Zeit-Funktion bei einer von Null verschiedenen
> Startzeit:
> Zeigen Sie: Für die Länge s des im Zeitintervall [mm][t_0; t_A][/mm]
> zurückgelegten Weges s gilt:
>
> s = [mm]\integral_{t_0}^{t_A} v(z)\,[/mm] dz
>
> Erläutern Sie folgende Begründung hierfür: Die
> Weg-Zeit-Funktion s ist eine Stammfunktion der
> Geschwindigkeits-Zeit-Funktion v mit v(t). Es gilt also:
>
> s(t) = [mm]\integral_{t_0}^{t} v(z)\,[/mm] dz + [mm]s_0[/mm]
>
> Hierbei ist [mm]s_0[/mm] der bis zum Zeitpunkt [mm]t_0[/mm] zurückgelegte Weg
> [mm]s(t_0).[/mm] Der im Zeitintervall [mm][t_0; t_A][/mm] zurückgelegte Weg
> hat die Länge:
>
> [mm]\integral_{t_0}^{t_A} v(z)\,[/mm] dz
> Weg-Zeit-Funktion mit Anfangsgeschwindigkeit und bereits
> zurückgelegtem Weg
>
> Wie lautet die Weg-Zeit-Funktion s mit s(t), wenn zum
> Zeitpunkt t = 0 die Geschwindigkeit [mm]v_0[/mm] von 0 verschieden
> und schon die Weglänge [mm]s_0[/mm] zurückgelegt ist.
> Hallo
>
> Erstmal ich bin noch ganz neu hier, habe mir aber Eure
> Regeln durchgelesen, ich hoffe ich mach alles soweit
> richtig und wenn nicht, korrigiert mich bitte ;)
>
> Ich muss eine GFS (= Referat) über "Anwenden des Integrals
> bei Geschwindigkeit und Beschleunigung" machen.
>
> Nun gibt es bei uns im Mathebuch eine Einstiegsaufgabe zu
> dem Thema, wo man den Anhalteweg ausrechnet mit Hilfe
> zweier Rechnungen (Reaktionsweg und Bremsweg).
>
> Das eigentliche Problem ist eine weiterführende Aufgabe,
> ich bin mir nicht sicher, ob die Aufgabe 1, die ich nun
> trotzdem mal schildere dazu notwendig ist.
>
> Aufgabe 1 konnte ich lösen:
>
> 1. Reaktionsweg: Reaktionszeit ist ebenfalls mit 1 sek.
> (Schrecksekunde) gegeben. Man macht also das Integral von
> 30, als untere Grenze 0, als obere 1. Heraus kommt dann
> 30m.
Integral ist bei konstanter Geschw. eigentlich überflüssig, aber natürlich nicht falsch. Konstanten zu integrieren ist nie interessant!
> 2. Bremsweg: Da wir eine konstante Bremsverzögerung von
> -7,5 annehmen, verringert sich die Geschwindigkeit linear
> von v 0 = v(0) = 30 vom Beginn des Bremsvorgangs t=0 auf
> v(tB)=0 zum Ende des Bremsvorgangs t=tB. Die Funktion v
> lässt sich somit durch einen linearen Funktionsterm
> beschreiben: v(t) = v0+a*t = 30+(-7,5)*t
>
> Die Abbremszeit ist die Nullstelle von v (Das war dazu
> angegeben):
>
> v(tB)=0, also 0 = 30-7,5*tB und damit gilt tB=4.
>
> Dann integriert man das ganze mit der nun gegebenen Zeit
Hier machst du ja schon Aufgabe 2 in 1 kann man auch noch mit der "Durchschnittsgeschw." [mm] \overline{v}=(v(0)+v(t))/2 [/mm] rechnen und [mm] s=\overline{v}*t
[/mm]
> und man kommt am Ende auf 60m. Das addiert mit den 30m von
> zuvor ergibt 90m, somit kommt er vor dem Reh zum stehen.
> Die Aufgabe habe ich auch dann hinbekommen und soweit
> verstanden.
Ist auch völlig richtig
> Nun aber zum eigentlichen Problem:
>
> "Weiterführende Aufgaben":
>
> 2. Aufgabe: Bestimmung der Geschwindigkeit mithilfe des
> Integrals
>
> Ich weiß, dass mit a die Beschleunigung gemeint ist, was
> mir aber unklar ist, was das z hier soll oder was ich dafür
> einsetzen soll :(
Hier [mm] a(z)=-7.5m/s^{2}
[/mm]
Ein Integral hat eine Fkt, die integriert werden soll und eine manchmal variable obere (oder untere) Grenze. Die sog. Integrationsvariable sollte nicht denselben Namen haben, wie die obere Grenze. hier also t. meist verwendet man deshalb den entsprechenden griechischen Namen, das wäre hier Tau: [mm] \tau. [/mm] Hier haben sie einfach z verwendet, jede andere Bezeichnung, [mm] \tau, [/mm] x, y, oder Stefan hättens auch getan.
also wenn a(t)=7t, dann ist a(z)=7z, das ist das ganze Geheimnis.
Ich hoffe das beantwortet alle deine Fragen!
(Übrigens, die "Erfindung" der Integralrechnung wurde speziell für die Berechnung von Wegen aus der Geschwindigkeitsfkt, bzw. Geschwindigkeiten aus der Beschleunigungsfkt. von Newton gemacht, entsprechend auch umgekehrt die Differentialrechnung! Die Interpretation als Fläche unter ner Kurve ist eigentlich mehr für die Schule! das zu wissen lohnt sich vielleicht für ein Referat!)
> Das "z" taucht dann noch in den darauffolgenden Aufgaben 3.
> und 4. auf, was diese ebenfalls unverständlich für mich
> macht:
>
> 3. Aufgabe: Auch hier weiß ich nichts mit z anzufangen oder
> ob ich da irgendwas aus Aufgabe 1 einsetzen soll.. :-/
>
4. Aufgabe nur kleiner Schritt von 3.
Wenn du weitere Fragen hast post sie.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Fr 02.06.2006 | | Autor: | scounce |
| Aufgabe 1 | | Im zweiten Teil der Aufgabe 1 wurde für die Funktion v ein linearer Funktionsterm v(t) = [mm] v_0 [/mm] + a*t gefunden. Zeigen sie, dass man v(t) auch mit dem Integral v= [mm] \integral_{0}^{1} a(z)\, [/mm] dz berechnen kann. |
| Aufgabe 2 | Weg-Zeit-Funktion bei einer von Null verschiedenen Startzeit:
Zeigen Sie: Für die Länge s des im Zeitintervall [mm] [t_0; t_A] [/mm] zurückgelegten Weges s gilt:
s = [mm] \integral_{t_0}^{t_A} v(z)\, [/mm] dz
Erläutern Sie folgende Begründung hierfür: Die Weg-Zeit-Funktion s ist eine Stammfunktion der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion v mit v(t). Es gilt also:
s(t) = [mm] \integral_{t_0}^{t} v(z)\, [/mm] dz + [mm] s_0
[/mm]
Hierbei ist [mm] s_0 [/mm] der bis zum Zeitpunkt [mm] t_0 [/mm] zurückgelegte Weg [mm] s(t_0). [/mm] Der im Zeitintervall [mm] [t_0; t_A] [/mm] zurückgelegte Weg hat die Länge:
[mm] \integral_{t_0}^{t_A} v(z)\, [/mm] dz |
| Aufgabe 3 | Weg-Zeit-Funktion mit Anfangsgeschwindigkeit und bereits zurückgelegtem Weg
Wie lautet die Weg-Zeit-Funktion s mit s(t), wenn zum Zeitpunkt t = 0 die Geschwindigkeit [mm] v_0 [/mm] von 0 verschieden und schon die Weglänge [mm] s_0 [/mm] zurückgelegt ist. |
Ok also die Aufgabe mit dem "linearen Funktionsterm" glaube ich nun verstanden zu haben. Deine Antwort war sehr hilfreich - danke :)
Habe mal mit den Zahlen aus der 1. Aufgabe das gerechnet, korrigiert mich bitte, falls ich dabei was falsch verstanden habe:
v(3) = [mm] v_0 [/mm] + a * t
= 30 + (-7,5*3)
= 7,5
Dann mit der Integralvariante:
v = [mm] \integral_{0}^{3} a(z)\, [/mm] dz
= -7,5 * 3 - 0
= -22,5
V_Start - v = 7,5
Allerdings was mich verwirrt: in der 1. Aufgabe hat man ja die Gleichung v(t) = [mm] v_0 [/mm] + a*t dazu verwendet um nach t aufzulösen, demnach müsste ich ja das mit der Hilfe des Integrals der Beschleunigung auch hinbekommen:
v = [mm] \integral_{0}^{t} a(z)\, [/mm] dz
30 = [mm] \integral_{0}^{t} [/mm] -7,5 dz
30 = -7,5 * t -0
-4 = t
Wieso bekomme ich dann -4 raus, obwohl eigentlich ja eine positive Zahl herauskommen sollte? Hab ich da was falsch gemacht/falsch gedacht?
Zur in diesem Beitrag 2. Aufgabe (Weg-Zeit-Funktion bei einer von Null verschiedenen Startzeit):
Auch das habe ich versucht mit den Zahlen aus der 1. Aufgabe nachzurechnen und hier krieg ich zwei verschiedene Ergebnisse raus:
Im Buch steht: Für die gleichmäßige beschleunigte Bewegung ( a = konstant, [mm] v_0 [/mm] = v(0) ) gilt die Formel:
s = [mm] v_0*t_A [/mm] + 1/2 *a*t²_A
Also als Beispiel von dem Intervall 1 bis 3, demnach:
s = 30 * 2 + 1/2 * (-7,5) * 2²
= 60 + (-15)
= 45
und nun mit der Formel:
s = [mm] \integral_{t_0}^{t_A} v(z)\, [/mm] dz
= [mm] \integral_{1}^{3} [/mm] 30 dz
= 30*3 - 30*1
= 60
Was davon ist nun richtig oder wo liegt der Fehler? :?
Zu dem 2. Teil der 2. Aufgabe (Erläutern Sie folgende...):
s(t) = [mm] \integral_{t_0}^{t} [/mm] v(z) dz + [mm] s_0
[/mm]
Als Beispiel wieder der Intervall 1 bis 3
s(3) = [mm] \integral_{0}^{3} [/mm] 30 dz + [mm] s_0
[/mm]
= 30*3 - 30*1 + [mm] s_0
[/mm]
= 60 + [mm] s_0
[/mm]
Wobei im 3. Teil ja gesagt wird, dass [mm] s_0 [/mm] = [mm] \integral_{t_0}^{t_A} v(z)\, [/mm] dz ist:
[mm] s_0 [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] 30 dz
= 30
Also 60 + [mm] s_0 [/mm] = 90.
Habe ich das nun richtig verstanden und stimmt das oder ist da ein Denkfehler vorhanden? :o
Und zum letzen, der in diesem Beitrag genannten Aufgabe 3:
s(t) = [mm] \integral_{t_0}^{t} [/mm] v(z) dz + [mm] \integral_{t_0}^{t_A} [/mm] v(z) dz
Stimmt das, weil da hab ich keine weitere Idee bisher gehabt...?
Danke für die Antwort bisher,
bye
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Fr 02.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Stefan
> Im zweiten Teil der Aufgabe 1 wurde für die Funktion v ein
> linearer Funktionsterm v(t) = [mm]v_0[/mm] + a*t gefunden. Zeigen
> sie, dass man v(t) auch mit dem Integral v=
> [mm]\integral_{0}^{1} a(z)\,[/mm] dz berechnen kann.
> Weg-Zeit-Funktion bei einer von Null verschiedenen
> Startzeit:
> Zeigen Sie: Für die Länge s des im Zeitintervall [mm][t_0; t_A][/mm]
> zurückgelegten Weges s gilt:
>
> s = [mm]\integral_{t_0}^{t_A} v(z)\,[/mm] dz
>
> Erläutern Sie folgende Begründung hierfür: Die
> Weg-Zeit-Funktion s ist eine Stammfunktion der
> Geschwindigkeits-Zeit-Funktion v mit v(t). Es gilt also:
>
> s(t) = [mm]\integral_{t_0}^{t} v(z)\,[/mm] dz + [mm]s_0[/mm]
>
> Hierbei ist [mm]s_0[/mm] der bis zum Zeitpunkt [mm]t_0[/mm] zurückgelegte Weg
> [mm]s(t_0).[/mm] Der im Zeitintervall [mm][t_0; t_A][/mm] zurückgelegte Weg
> hat die Länge:
>
> [mm]\integral_{t_0}^{t_A} v(z)\,[/mm] dz
> Weg-Zeit-Funktion mit Anfangsgeschwindigkeit und bereits
> zurückgelegtem Weg
>
> Wie lautet die Weg-Zeit-Funktion s mit s(t), wenn zum
> Zeitpunkt t = 0 die Geschwindigkeit [mm]v_0[/mm] von 0 verschieden
> und schon die Weglänge [mm]s_0[/mm] zurückgelegt ist.
> Ok also die Aufgabe mit dem "linearen Funktionsterm"
> glaube ich nun verstanden zu haben. Deine Antwort war sehr
> hilfreich - danke :)
>
> Habe mal mit den Zahlen aus der 1. Aufgabe das gerechnet,
> korrigiert mich bitte, falls ich dabei was falsch
> verstanden habe:
>
> v(3) = [mm]v_0[/mm] + a * t
> = 30 + (-7,5*3)
> = 7,5
Richtig
> Dann mit der Integralvariante:
>
> v = [mm]\integral_{0}^{3} a(z)\,[/mm] dz
> = -7,5 * 3 - 0
> = -22,5
>
> V_Start - v = 7,5
>
> Allerdings was mich verwirrt: in der 1. Aufgabe hat man ja
> die Gleichung v(t) = [mm]v_0[/mm] + a*t dazu verwendet um nach t
> aufzulösen, demnach müsste ich ja das mit der Hilfe des
> Integrals der Beschleunigung auch hinbekommen:
>
> v = [mm]\integral_{0}^{t} a(z)\,[/mm] dz
Nein, nicht so! sondern [mm] $v=v(0)+\integral_{0}^{t}{ -7,5 dz}$
[/mm]
dann $0=30m/s [mm] -7,5m/s^{2}*t [/mm] $
daraus t=4
> 30 = [mm]\integral_{0}^{t}[/mm] -7,5 dz
> 30 = -7,5 * t -0
> -4 = t
>
> Wieso bekomme ich dann -4 raus, obwohl eigentlich ja eine
> positive Zahl herauskommen sollte? Hab ich da was falsch
> gemacht/falsch gedacht?
siehe oben
>
> Zur in diesem Beitrag 2. Aufgabe (Weg-Zeit-Funktion bei
> einer von Null verschiedenen Startzeit):
>
> Auch das habe ich versucht mit den Zahlen aus der 1.
> Aufgabe nachzurechnen und hier krieg ich zwei verschiedene
> Ergebnisse raus:
>
> Im Buch steht: Für die gleichmäßige beschleunigte Bewegung
> ( a = konstant, [mm]v_0[/mm] = v(0) ) gilt die Formel:
>
> s = [mm]v_0*t_A[/mm] + 1/2 *a*t²_A
so gilt die Gleichung nur, wenn man bei t=0 anfängt, du kannst also v(3) ausrechnen , indem du das Intervall von 0 bis 3 nimmst
> Also als Beispiel von dem Intervall 1 bis 3, demnach:
Da müsstest du die allgemeinere Formel nehmen:
$s(t2)=s(t1)+v(t1)*(t2-t1) [mm] +a/2*(t2-t1)^2$
[/mm]
Am einfachsten überprüfst du z. Bsp die Formel, indem du erst mal a=0 setzest
> s = 30 * 2 + 1/2 * (-7,5) * 2²
> = 60 + (-15)
> = 45
> und nun mit der Formel:
>
> s = [mm]\integral_{t_0}^{t_A} v(z)\,[/mm] dz
> = [mm]\integral_{1}^{3}[/mm] 30 dz
> = 30*3 - 30*1=60
hier hast du ausserdem das falsche v(z) es ist nicht v(z)=30m/s sondern
[mm] v(z)=30m/s-7,5m/s^2*t
[/mm]
und du hast nur den Weg der zwischen t=1 und t=3 zurückgelegt wird. Das Ergebnis ist also der Weg in 2s bei konstanter Geschwindigkeit.
Besser ist du benutzt die Formel so:
s(t)-s(to)= [mm] \integral_{to}^{t}{v(z) dz} [/mm] mit v(z)=v(to)+a(z)
>
> Was davon ist nun richtig oder wo liegt der Fehler? :?
>
> Zu dem 2. Teil der 2. Aufgabe (Erläutern Sie folgende...):
>
> s(t) = [mm]\integral_{t_0}^{t}[/mm] v(z) dz + [mm]s_0[/mm]
Statt [mm] s_{0} [/mm] müsste hier wieder s(to) stehen
die formel, so wie du sie schreibst gilt nur für to=0
> Als Beispiel wieder der Intervall 1 bis 3
>
> s(3) = [mm]\integral_{0}^{3}[/mm] 30 dz + [mm]s_0[/mm]
> = 30*3 - 30*1 + [mm]s_0[/mm]
> = 60 + [mm]s_0[/mm]
Auch hier wieder das falsche v(z) das ja nicht konstant ist sondern linear fällt.
> Wobei im 3. Teil ja gesagt wird, dass [mm]s_0[/mm] =
> [mm]\integral_{t_0}^{t_A} v(z)\,[/mm] dz ist:
>
> [mm]s_0[/mm] = [mm]\integral_{0}^{1}[/mm] 30 dz
> = 30
das gilt, falls in der Zeit 0 bis 1 v konstant ist.
Statt [mm] s_{0} [/mm] würde ich besser [mm] s_{A} [/mm] A für Anfang schreiben. unter s(t) versteht man fast immer den weg, wenn die Zeit bei 0 anfängt.
>
> Also 60 + [mm]s_0[/mm] = 90.
>
>
> Habe ich das nun richtig verstanden und stimmt das oder ist
> da ein Denkfehler vorhanden? :o
>
> Und zum letzen, der in diesem Beitrag genannten Aufgabe 3:
>
> s(t) = [mm]\integral_{t_0}^{t}[/mm] v(z) dz + [mm]\integral_{t_0}^{t_A}[/mm]
> v(z) dz
Ich weiss nicht, was du hier mit [mm] {t_0}und {t_A} [/mm] meinst, ich glaub, deine Frage ist schon oben beantwortet!
Das Ganze basiert ja auf den physikalischen Definitionen von "Momentangeschwindigkeit" [mm] v=\bruch{ds}{dt} [/mm] als Grenzwert von [mm] v=\bruch{s(t2)-s(t1)}{t2-t1} [/mm] für t2-t1 gegen 0. bzw. t1gegen t2
Der Bruch (ohne Grenzwert) ist die Definition der Durchschnittsgeschwindigkeit für beliebige Zeitintervalle, es ist einleuchtend, bzw. in der Physi so definiert, dass der Grenzwert die Geschw. im Zeitpunkt t1 bzw t2 ist.
Entsprechend ist die Beschleunigung als Geschwindigkeitsänderung pro Zeit
definiert: [mm] a=\bruch{v(t2)-v(t1)}{t2-t1} [/mm] und in der Grenze a=v'
Damit kommt man dann umgekehrt auf die Integrale.
Jetzt arbeit mal damit, rechne nicht nur, sondern überleg auch jeweils die Begründung, aus der Definition von a und v, dann wird es wahrscheinlich einfacher (hoff ich)
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:47 Mo 05.06.2006 | | Autor: | scounce |
Also ich hab jetzt wenigstens die 2. Aufgabe im Buch dann verstanden, also
mit v(t) = [mm] v_0 [/mm] + a * t krigen wir also
0 = 30 - 7,5 * t
t = 4 raus.
dann mit Integral:
v = [mm] v_0 [/mm] + [mm] \integral_{0}^{t} a(z)\, [/mm] dz
0 = 30 + [mm] \integral_{0}^{t} [/mm] -7,5 dz
0 = 30 + -7,5t
t = 4 raus.
Wunderbar.. :>
Nun aber die Folgeaufgabe stellt einfach ein großes Problem dar, ich hab nun wieder hier schon Stundenlang drüber gegrübelt und ich werd nicht schlauer... Ich ärgere mich grad selbst warum ichs nicht auf die Reihe bekomme :-/
Die Formeln also die Integralrechnungen sind ja so im Buch vorgegeben, natürlich kann ich denen so manches dazu erklären, aber ich kann auch nicht die ganzen Formeln umändern, so verstehe ich z.B. das was du hiermit meinst: s(t) - [mm] s(t_0) [/mm] nicht so ganz.
das mit v(z) = [mm] v_0 [/mm] + a(z) gemeint ist, leuchtet mir ein, das hast du ja schon oben erklärt.. :>
Noch eine Frage: Was ist der Unterschied zwischen [mm] s_0 [/mm] und [mm] s(t_0) [/mm] ?
Das Buch schreibt ja auch in der Aufgabe "Hierbei ist [mm] s_0 [/mm] der bis zum Zeitpunkt [mm] t_0 [/mm] zurückgelegte Weg [mm] s(t_0).
[/mm]
Ich habs dann trotzdem mal versucht zu rechnen:
[mm] s_0 [/mm] = [mm] \integral_{t_0}^{t_A} [/mm] v(z) dz
= [mm] \integral_{1}^{3} [/mm] 30-7,5t dt
= [30*t - 1/2*7,5*t²] obere Grenze: 3, untere: 1 ( Aufleitung stimmt doch so oder?)
= 30m
Das zum 1. Teil der Weg-Zeit-Funktion bei einer von Null verschiedenen Startzeit - sehe ich das richtig, dass ich dann ja als untere Grenze nicht 0 angeben darf, da die Startzeit von Null verschieden sein soll, oder?
s(t) = [mm] \integral_{t_0}^{t} [/mm] v(z) dz + [mm] s_0
[/mm]
s(4) = [mm] \integral_{3}^{4} [/mm] 30-7,5t dt + [mm] s_0
[/mm]
für [mm] s_0 [/mm] = [mm] \integral_{0}^{3} [/mm] 30-7,5t dt
Am ende bekomme ich s(4) = 60-3,75 + [mm] s_0 [/mm] wobei [mm] s_0 [/mm] = 56,25 ergibt, also insg. 112,5m
Kann aber nicht sein, denn eigentlich war ja die Lösung in Aufgabe 1 (mit dem Reh), dass bei 4 Sekunden die Strecke 60m raus kam.
Ich bin hier echt in tiefer Verzweiflung, weiß nun auch nicht weiter.. Wäre über einen weiteren Ratschlag, eine Idee oder gar eine Lösung sehr happy, damit ich endlich hinter das ganze komme... Momentan sagt mir da einiges Bahnhof, wenn das einer mit den Zahlen aus Aufgabe 1 als Beispiel mir zeigen könnte, wäre ich schon sehr happy...
Danke!
bye
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 12.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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