Integral berechnen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Sa 02.12.2017 | | Autor: | Son |
| Aufgabe | Sei (Ω,S,μ)= [mm] (\IR,B(\IR),\delta) [/mm] wobei [mm] \delta [/mm] Dirac Maß im Punkt -1 und [mm] f(x)=e^x [/mm] -1 [mm] \forall x\in \IR
[/mm]
Berechne das Integral. |
Ich brauche ein paar Ansätze.. Existiert das Integral überhaupt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 So 03.12.2017 | | Autor: | Son |
| Aufgabe | Sei (Ω,S,μ)= [mm] (\IR,B(\IR),\delta) [/mm] wobei [mm] \delta [/mm] Dirac Maß im Punkt -1 und [mm] f(x)=e^x [/mm] -1 [mm] \forall x\in \IR
[/mm]
Berechne das Integral. |
Ich brauche ein paar Ansätze.. Existiert das Integral überhaupt?
Also meine Ansätze sehen folgendermaßen aus: [mm] \delta [/mm] (-1)=1 ->
Integral = [mm] \sum_{n\in \IR} [/mm] f(n) [mm] \delta [/mm] (n) = [mm] \sum e^n -\sum [/mm] 1
Da [mm] f_{+} =\sum e^n-> [/mm] ∞ und [mm] f_{-} =\sum [/mm] 1 -> ∞ existiert das integral nicht.
Ist das so richtig.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:47 So 03.12.2017 | | Autor: | fred97 |
> Sei (Ω,S,μ)= [mm](\IR,B(\IR),\delta)[/mm] wobei [mm]\delta[/mm] Dirac Maß
> im Punkt -1 und [mm]f(x)=e^x[/mm] -1 [mm]\forall x\in \IR[/mm]
> Berechne das
> Integral.
>
> Ich brauche ein paar Ansätze.. Existiert das Integral
> überhaupt?
>
> Also meine Ansätze sehen folgendermaßen aus: [mm]\delta[/mm]
> (-1)=1 ->
> Integral = [mm]\sum_{n\in \IR}[/mm] f(n) [mm]\delta[/mm] (n) = [mm]\sum e^n -\sum[/mm]
> 1
> Da [mm]f_{+} =\sum e^n->[/mm] ∞ und [mm]f_{-} =\sum[/mm] 1 -> ∞
> existiert das integral nicht.
> Ist das so richtig.
Nein. Hättest du dir die Definitionen angesehen, so würdest du bekommen, dass das Integral =f (-1) ist.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 So 03.12.2017 | | Autor: | Son |
Wie kommen Sie da auf -1. Ich verstehe es nicht so ganz...
Also das Integral wird ja eigentlich als $ [mm] \sum f(n)\cdot{}\mu [/mm] $ (n) dargestellt..
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Hiho,
> Wie kommen Sie da auf -1.
Wir dürfen uns hier duzen…
> Ich verstehe es nicht so ganz...
> Also das Integral wird ja eigentlich als [mm]\sum f(n)\cdot{}\mu[/mm] (n) dargestellt..
Naja… allgemein gilt das nicht. Aber für eine Funktion auf den ganzen Zahlen, oder allgemein auf abzählbaren Mengen, kann man das durchaus so schreiben… aber wir haben hier ja [mm] $\IR$ [/mm] als Grundmenge gegeben und das ist nicht abzählbar.
Dein Aufschrieb mit [mm] $\sum_{n\in\IR}$ [/mm] ist daher Blödsinn. Was soll eine Summe über eine überabzählbare Menge sein?
Und nach der Darstellung wäre jedes Integral bezüglich des Lebesgue-Maßes Null… was auch offensichtlich keinen Sinn ergibt.
Daher fangen wir mal bei Null an: Wie habt ihr das Integral definiert?
Dann kann man vllt. mal dort anfangen…
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 So 03.12.2017 | | Autor: | Son |
Achso ja stimmt. Also in der Vorlesung hatten wir aber bis jetzt nur folgendermaßen definiert:
[mm] \integral_{\Omega} [/mm] f [mm] d\mu [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n \alpha_i \mu (A_i) [/mm] oder
[mm] \integral_{\Omega} [/mm] f [mm] d\mu [/mm] = [mm] \integral_{\Omega} f_{+} d\mu [/mm] - [mm] \integral_{\Omega} f_{-} d\mu
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 So 03.12.2017 | | Autor: | fred97 |
> Achso ja stimmt. Also in der Vorlesung hatten wir aber bis
> jetzt nur folgendermaßen definiert:
> [mm]\integral_{\Omega}[/mm] f [mm]d\mu[/mm] = [mm]\sum_{i=1}^n \alpha_i \mu (A_i)[/mm]
das ist das Integral für treppenfunktionen
> oder
> [mm]\integral_{\Omega}[/mm] f [mm]d\mu[/mm] = [mm]\integral_{\Omega} f_{+} d\mu[/mm]
> - [mm]\integral_{\Omega} f_{-} d\mu[/mm]
was soll "oder" bedeuten? das letzte ist das Integral im allgemeinen
dazwischen fehlt noch einiges
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Hiho,
wie fred schon sagte: Deine Kenntnisse der Definitionen sind seeeeehr lückenhaft. Das solltest du dringend nacharbeiten, wie das Maßintegral definiert ist!
Davon ab hattet ihr sicherlich auch einige schöne Sätze wie: Gilt $f [mm] \equiv [/mm] g$ [mm] $\mu$-fast [/mm] überall, dann gilt [mm] $\int_\Omega [/mm] f [mm] d\mu [/mm] = [mm] \int_\Omega [/mm] g [mm] d\mu$. [/mm] Stimmts?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 So 03.12.2017 | | Autor: | Son |
Also diese Definition hatten wir nicht.
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Hiho,
> Also diese Definition hatten wir nicht.
das war keine Definition, sondern ein Satz!
Du bist aber noch immer schuldig, wie konkret ihr das Integral definiert habt… insbesondere, damit du das selbst verstehst.
Also beantworte: Wie ist [mm] $\int_\Omega [/mm] \ f \ [mm] d\mu$ [/mm] für beliebiges meßbares $f$ definiert?
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 So 03.12.2017 | | Autor: | Son |
[mm] \int_\Omega [/mm] \ f \ [mm] d\mu [/mm] := [mm] lim_{n\rightarrow\infty} \int_\Omega [/mm] \ [mm] f_n [/mm] \ [mm] d\mu.
[/mm]
Mehr Definitionen hatten wir nicht:(
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Hiho,
> [mm]\int_\Omega[/mm] \ f \ [mm]d\mu[/mm] := [mm]lim_{n\rightarrow\infty} \int_\Omega[/mm]
> \ [mm]f_n[/mm] \ [mm]d\mu.[/mm]
Aha, und die [mm] $f_n$ [/mm] fallen dann vom Himmel?
Was sind denn das für [mm] $f_n$? [/mm] Und wie kann man ein Integral mit einem Integral definieren? Ist das nicht ein Zirkelschluss?
Fragen über Fragen…
> Mehr Definitionen hatten wir nicht:(
Das glaube ich dir nicht. Alleine schon, weil man aus deinen vorherigen Postings ableiten kann, dass ihr das hattet. Es ist dir anscheinend nur nicht bewusst…
Also fassen wir mal zusammen, was wir bisher haben:
Ich möchte das Integral [mm] $\int_\Omega [/mm] f [mm] d\mu$ [/mm] berechnen für eine beliebige Funktion $f$. Nun kommst du und sagst: Na das machst du doch über
> [mm]\int_\Omega \ f \ d\mu := \lim_{n\rightarrow\infty} \int_\Omega f_n \ d\mu[/mm]
Nun beantworte mal meine Fragen von oben, vllt. kommst du dann dem Verständnis etwas näher…
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 So 03.12.2017 | | Autor: | Son |
Also fn soll punktweise gegen f konvergieren für alle n-> ∞.
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Hiho,
und immer mehr Zeichen und Symbole, die du kommentarlos erwähnst… was ist denn $T_+$? Und ich glaube kaum, dass punktweise Konvergenz der [mm] $f_n \to [/mm] f$ das einzige Kriterium war, was ihr hattet.
edit: Soll ich dir weiter Kleinstschritt für Kleinstschritt aus der Nase ziehen, oder schaffst du es von allein mal ausführlich und vollständig die Definition des Maßintegrals hinzuschreiben?
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:07 So 03.12.2017 | | Autor: | Son |
Und fn ist [mm] \subset T_{+} [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 So 03.12.2017 | | Autor: | Son |
Also ich glaube ich habe ein paar Ideen:
[mm] \integral_{\IR} e^x -1=\integral_{\IR} e^x -\integral_{\IR} [/mm] 1.
Sei [mm] f_n [/mm] = [mm] (1+(x/n))^n [/mm] -> lim [mm] (1+(x/n))^n =e^x
[/mm]
lim [mm] \integral_{\IR} (1+(x/n))^n [/mm] = ..
Da komme ich jedoch nicht weiter...
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Hiho,
> Also ich glaube ich habe ein paar Ideen:
> [mm]\integral_{\IR} e^x -1=\integral_{\IR} e^x -\integral_{\IR}[/mm]
> 1.
> Sei [mm]f_n[/mm] = [mm](1+(x/n))^n[/mm] -> lim [mm](1+(x/n))^n =e^x[/mm]
> lim
> [mm]\integral_{\IR} (1+(x/n))^n[/mm] = ..
> Da komme ich jedoch nicht weiter...
Stimmt, weil das zwar nicht falsch, aber absolut nicht zielführend ist!
Weiter im Text im anderen Zweig des Threads…
Gruß,
Gono
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:37 Mo 04.12.2017 | | Autor: | fred97 |
Ich habe mich dazu durchgerungen, Dir mal vorzumachen, wie ein "Mathestudent im Hauptstudium" vorgehen sollte, wenn er nur die Definitionen benutzt.
Bezeichnungen: alle vorkommenden Mengen seine Mengen in [mm] B(\IR), [/mm] es sei [mm] x_0 \in \IR [/mm] und [mm] \mu [/mm] := [mm] \delta_{x_0} [/mm] das Dirac-Maß, also
[mm] \mu(A)=1, [/mm] falls [mm] x_0 \in [/mm] A und [mm] \mu(A)=0 [/mm] , falls [mm] x_0 \notin [/mm] A.
Abkürzend schreibe ich [mm] \int [/mm] f statt [mm] $\int_{\IR} [/mm] f d [mm] \mu$.
[/mm]
Alle funktionen seine auf [mm] \IR [/mm] definiert.
(1) für eine Borelmenge A ist (nach Def. !): [mm] \int 1_A =\mu(A). [/mm] Weil [mm] \mu [/mm] das Dirac-Maß ist, haben wir also
[mm] \int 1_A =\mu(A)=1_A(x_0).
[/mm]
(2) Sei f eine nichtnegative messbare Treppenfunktion, also f= [mm] \sum_{j=1}^k a_k1_{A_k}.
[/mm]
Dann ist, nach (1), [mm] \int [/mm] f [mm] =\sum_{j=1}^k a_k \int 1_{A_k}=\sum_{j=1}^k a_k 1_{A_k}(x_0)=f(x_0).
[/mm]
(3) Jetzt sei f nichtnegativ und messbar. Dann ex. eine Folge [mm] (f_n) [/mm] nichtnegativer messbarer Treppenfunktionen, die punktweise gegen f konvergiert und für die gilt [mm] f_n \le f_{n+1}.
[/mm]
Wieder nach Def. ist [mm] \int [/mm] f = [mm] \lim_{n \to \infty} \int f_n. [/mm] Nach (2) ist also
[mm] \int [/mm] f = [mm] \lim_{n \to \infty} f_n(x_0)=f(x_0).
[/mm]
(4) Nun sei f messbar (mit bel. Vorzeichen). Mit [mm] f=f_{+ }-f_{-} [/mm] ist
[mm] \int [/mm] f= [mm] \int f_{+ }- \int f_{-}
[/mm]
und mit (3) folgt: [mm] \int [/mm] f= [mm] f_{+ }(x_0) -f_{-}(x_0)=f(x_0).
[/mm]
Fertig ist der Schuh !
War das so schwer ? Nein ! Was haben wir gebraucht ? Definitionen, Definitionen, .....
Du wirst keine Aufgaben lösen können, wenn Du die Definitionen nicht auf der Pfanne hast !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Mo 04.12.2017 | | Autor: | Son |
Vielen Dank! Der Beweis ist einfach aber ich komme einfach nicht so ganz drauf weil ich diese ganzen Zusammenhänge nicht so gut merken kann..
Gibt es vielleicht eine Literatur die Sie mir empfehlen können..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Mo 04.12.2017 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank! Der Beweis ist einfach aber ich komme einfach
> nicht so ganz drauf weil ich diese ganzen Zusammenhänge
> nicht so gut merken kann..
Hä ? Du musst Dir nicht alles merken. Du solltest wissen wo Du nachschauen kannst: Vorlesungsmitschrieb, Skripten, Bücher, .....
> Gibt es vielleicht eine Literatur die Sie mir empfehlen
> können..
Eine Auswahl:
D.L. Cohn, Measure Theory. Birkhäuser (1980).
J. Elstrodt, Maß- und Integrationstheorie. Springer (2007).
D. Werner, Einführung in die höhere Analysis. Springer (2006). Kapitel IV.
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