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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Binky |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{(x-1)^2} dx} [/mm] |
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{(x-1)^2} dx}
[/mm]
Wie komme ich hier weiter?
Mit Substitution von [mm] u=(x-1)^2 [/mm] komme ich nicht auf das geforderte Ergebnis von [mm] \bruch{-1}{x-1}
[/mm]
Vielen Dank schon mal für jegliche Anregungen.
Gruß
Binky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
das Integral kannst du durch "hinsehen" lösen, wenndu weist, dass [mm] $\frac{1}{x}$ [/mm] abgeleitet [mm] $-\frac{1}{x^2}$ [/mm] ist. Dann guckst du dir die Klammer an, und siehst, dass die innere Ableitung gleich 1 ist. Das "-" kommt daher, weil du ja beim Ableiten von 1/x das Minus da mit hinbekommst.
LG
Kroniu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Binky |
Danke. Hast recht.
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Hallo!
Mit der Substitution kommst du aber auch ans ziel.
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{(x-1)²} dx} [/mm] u=x-1 [mm] \gdw \bruch{du}{dx}=1 \gdw dx=\bruch{du}{1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral_{u(a)}^{u(b)}{\bruch{1}{u²} \bruch{du}{1}}=\integral_{u(a)}^{u(b)}{\bruch{1}{u²} du}=\integral_{u(a)}^{u(b)}{u^{-2} du}=-u^{-1}=-(x-1)^{-1}=-\bruch{1}{x-1}
[/mm]
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 17:31 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> Hallo!
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> Mit der Substitution kommst du aber auch ans ziel.
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{(x-1)²} dx}[/mm] u=x-1 [mm]\gdw \bruch{du}{dx}=1 \gdw dx=\bruch{du}{1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{u²} \bruch{du}{1}}=\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{u²} du}=\integral_{a}^{b}{u^{-2} du}=-u^{-1}=-(x-1)^{-1}=-\bruch{1}{x-1}[/mm]
Diese Schreibweise gefällt mir nicht. Wenn du Grenzen mit angibst, und substituierst, dann musst du die Grenzen auch entsprechend substituieren. Dann müssen die Grenzen doch u(a) und u(b) heißen.
Hinterher kannst du dann wieder die Rückstubstitutin machen, und wieder die Grenzen a und b hinschreiben...
Ist zwar in deinem Fall egal, weil du wieder rücksubstituierst, und dann wieder a und b einsetzt. Aber das kann man sich bei bestimmten Integralen sparen und dann direkt u(a) und u(b) einstezen.
Liebe Grüße,
Kroni
>
> Gruß
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