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Integral berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:33 Mi 13.08.2008
Autor: Idefix08

Aufgabe
[mm] \integral_{}^{}{e^{x}*cos(x)} [/mm]

Hallo,
bin wie folgt vorgegangen:
Durch partielle Integration
                            u=cos(x) u´=-sin(x)
                            [mm] v=e^x v´=e^x [/mm]
[mm] cos(x)*e^{x}-\integral_{}^{}{e^{x}*-sin(x)} [/mm]

Jetzt hab ich noch mal integriert:
                            u=-sin(x) u´=-cos(x)
                            [mm] v=e^x v´=e^x [/mm]

[mm] cos(x)*e^{x}+sin(x)*e^{x}-\integral_{}^{}{e^{x}*-cos(x)} [/mm]

Wie bekomme ich die Aufgabe gelöst? Gibts da nen Trick?
Könnte sonst ja bis ins unendliche weiter integrieren...

Gruß Idefix

        
Bezug
Integral berechnen: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:53 Mi 13.08.2008
Autor: Loddar

Hallo Idefix!


Bei der 2. partiellen Integration solltest Du erst das Minusziechen vor das Integral ziehen und nur $u \ := \ [mm] \sin(x)$ [/mm] setzen.

Anschließend erhält man auf der rechten Seite wiederum dasselbe Integral wie das Ausgangsintegral.

Damit kannst Du dann die Gleichung nach dem gesuchten Integral umstellen.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Integral berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:03 Mi 13.08.2008
Autor: Idefix08

Danke für die schnelle Antwort.
Ich kann dir folgen und erhalte dann

[mm] cos(x)*e^x+sin(x)*e^x-\integral e^x*cos(x) [/mm]

Bloß wie stelle ich jetzt denn nach dem gesuchten Integral um?





Bezug
                        
Bezug
Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:13 Mi 13.08.2008
Autor: mathmetzsch

Hallo,

ich glaube, du hast Loddar nicht richtig verstanden. Schau dir mal in []diesem Wikipedia-Artikel Beispiel 1 an. Genauso ist das gemeint!!

Grüße, Daniel

Bezug
        
Bezug
Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:04 Mi 13.08.2008
Autor: M.Rex

Hallo

Du hast:

[mm] \integral e^x\cdot{}cos(x)=cos(x)\cdot{}e^x+sin(x)\cdot{}e^x-\integral e^x\cdot{}cos(x) [/mm]
[mm] \gdw 2*\integral e^x\cdot{}cos(x)=cos(x)\cdot{}e^x+sin(x)\cdot{}e^x [/mm]
[mm] \gdw \integral e^x\cdot{}cos(x)=\bruch{cos(x)\cdot{}e^x+sin(x)\cdot{}e^x}{2} [/mm]

Dieser Trick ist häufig im Zusammenhang mit [mm] \sin [/mm] und [mm] \cos [/mm] zu verwenden, da sich die Ableitungen wiederholen:

[mm] f(x)=\sin(x) [/mm]
[mm] f'(x)=\cos(x) [/mm]
[mm] f^{(2)}(x)=-\sin(x) [/mm]
[mm] f^{(3)}(x)=-\cos(x) [/mm]
[mm] f^{(4)}(x)=\sin(x)(=f(x)) [/mm]

Marius

Bezug
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