Integral berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Integriere: [mm] f(x)=\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{2\pi}{x^{2}*cos(kx)dx} [/mm] ; [mm] k\in\IN [/mm] , [mm] x\in\IR [/mm] |
ich muss bei den fourrierreihen das integrieren.
1) ich sollte hier produktregel anwenden, oder?
2) ist cos(kx) integriert --> sin(kx) ?
|
|
| |
|
Hallo,
> Integriere:
> [mm]f(x)=\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{2\pi}{x^{2}*cos(kx)dx}[/mm] ;
> [mm]k\in\IN[/mm] , [mm]x\in\IR[/mm]
> ich muss bei den fourrierreihen das integrieren.
> 1) ich sollte hier produktregel anwenden, oder?
Du meinst partielle Integration - ja. Als abzuleitende Funktion wähle immer das Polynom, und cos ist zu integrieren.
> 2) ist cos(kx) integriert --> sin(kx) ?
Nein. [mm] $\int \cos(k*x)\ [/mm] dx = [mm] \frac{1}{k}*\sin(k*x)$
[/mm]
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
> Nein. [mm]\int \cos(k*x)\ dx = \frac{1}{k}*\sin(k*x)[/mm]
>
wo kommt die [mm] \bruch{1}{k} [/mm] vor dem sin(kx) her?
und danke für den tip mit der partiellen integration^^
|
|
|
| |
|
Hallo, leite mal [mm] \bruch{1}{k}*sin(k*x) [/mm] ab, Steffi
|
|
|
| |
|
> Hallo, leite mal [mm]\bruch{1}{k}*sin(k*x)[/mm] ab, Steffi
ich würd mal sagen, ich muss die produktregel anwenden: [mm] \bruch{1}{k}*sin(kx) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{k^{2}}*sin(kx)+\bruch{1}{k}*\bruch{1}{k}*cos(kx)
[/mm]
sieht schlimm aus :( ist es soweit richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo, was ist denn jetzt passiert?? die Ableitung von [mm] \bruch{1}{k}*sin(k*x) [/mm] ist zu berechnen:
Ableitung von [mm] \bruch{1}{k} [/mm] konstanter Faktor, was passiert damit
Ableitung von sin(k*x) ist cos(k*x)
laut Kettenregel ist noch die innere Funktion k*x abzuleiten
jetzt baue alles zusammen
verliere die partielle Integration nicht aus den Augen
Steffi
|
|
|
| |
|
$ [mm] f(x)=\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{2\pi}{x^{2}\cdot{}cos(kx)dx} [/mm] $
mit partieller Integration:
--> [mm] \bruch{1}{\pi}((x^{2}*\bruch{1}{k}sin(kx))) [/mm] | - [mm] \integral_{0}^{\pi}{2x*\bruch{1}{k}sin(kx)})
[/mm]
das | soll die integrationsgrenzen von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] zeigen, ich hab das zeichen nicht gefunden :P
naja, ist dies soweit in ordnung?
|
|
|
| |
|
Hallo,
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{2\pi}{x^{2}\cdot{}cos(kx)dx}[/mm]
>
> mit partieller Integration:
>
> --> [mm]\bruch{1}{\pi}((x^{2}*\bruch{1}{k}sin(kx)))[/mm] | -
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{2x*\bruch{1}{k}sin(kx)})[/mm]
>
> das | soll die integrationsgrenzen von 0 bis [mm]2\pi[/mm] zeigen,
> ich hab das zeichen nicht gefunden :P
Vor dem zweiten Integral müsste als Faktor auch noch [mm] \frac{1}{\pi} [/mm] stehen, wenn das mit dem [mm] \frac{1}{\pi} [/mm] ganz vorne nicht so gemeint ist, dass es Faktor beider Summanden ist. Außerdem muss die Integrationsgrenze des zweiten Integrals natürlich [mm] 2*\pi [/mm] sein, nicht [mm] \pi.
[/mm]
Den ersten Teil (den ohne Integral) kannst du nun bereits ausrechnen. Beim zweiten musst du nochmal partielle Integration anwenden.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
ok, aber was ist die aufleitung von [mm] \bruch{1}{k}sin(kx) [/mm] ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:46 Mi 12.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo monstre!
> ok, aber was ist die aufleitung von [mm]\bruch{1}{k}sin(kx)[/mm] ?
So etwas gibt es nicht! Was soll das sein?
Oder meinst Du gar die "Stammfunktion" zur obigen Funktion?
Wie lautet die Stammfunktion zu [mm] $\sin(k*x)$ [/mm] ? Eine sehr ähnliche Funktion hast Du doch bereits ganz oben integriert.
Dann nur noch den konstanten Faktor [mm] $\bruch{1}{k}$ [/mm] nicht vergessen ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
> Integriere:
> [mm]f(x)=\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{2\pi}{x^{2}*cos(kx)dx}[/mm] ;
> [mm]k\in\IN[/mm] , [mm]x\in\IR[/mm]
so jetzt aber mit partieller integration(2-mal) :
[mm]f(x)=\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{2\pi}{x^{2}*cos(kx)dx}[/mm]= [mm] \bruch{1}{\pi}([x^{2}*\bruch{1}{k}sin(kx)] [/mm] - [mm] \integral_{0}^{2\pi}{2x*\bruch{1}{k}*sin(kx)})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\pi}([x^{2}*\bruch{1}{k}sin(kx) [/mm] - [mm] ([2x*(\bruch{-1}{k^{2}}*cos(kx)] [/mm] - [mm] \integral_{0}^{2\pi}{2*(\bruch{-1}{k^{2}}}cos(kx)))
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\pi}([x^{2}*\bruch{1}{k}*sin(kx)] [/mm] - ( [mm] [\bruch{-2x}{k^{2}}cos(kx)] [/mm] - [mm] [\bruch{2}{x^{3}}*sin(kx)] [/mm] ))
[...] bedeutet hier die integrationsgrenzen von 0 bis [mm] 2\pi
[/mm]
richtig soweit?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Do 13.05.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das sieht soweit gut aus. Jetzt musst du noch die Grenzen einsetzen, und dann weitestgehend zusammenfassen.
Tipp:
Mit ]_{0}^{2\pi}bekommst du die "Grenzklammer" [mm] ]_{0}^{2\pi}.
[/mm]
Und mit \left[...\right]_{0}^{2\pi} kannst du die Grösse der Klammern anpassen, also z.B. nach Brüchen
\left[\bruch{1}{k}\right]_{0}^{2\pi} ergibt z.B.:
[mm] \left[\bruch{1}{k}\right]_{0}^{2\pi}
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
so jetzt die entgültige Lösung:
= [mm] \bruch{1}{\pi}(0-(-\bruch{4\pi}{k})-0)= \bruch{1}{\pi}*\bruch{4\pi}{k}=\bruch{4}{k}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Do 13.05.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Nein, das stimmt leider nicht. Du hast jeweils eine Integrationsgrenze vergessen.
Du hast:
[mm] \bruch{1}{\pi}\left(\left[x^{2}\cdot{}\bruch{1}{k}\cdot{}sin(kx)\right]_{0}^{2\pi}-\left(\left[\bruch{-2x}{k^{2}}cos(kx)\right]_{0}^{2\pi}-\left[\bruch{2}{k^{3}}\cdot{}sin(kx)\right]_{0}^{2\pi}\right)\right)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\pi}\left(\left(\left[(2\pi)^{2}\cdot{}\bruch{1}{k}\cdot{}sin(2k\pi)\right]-\left[0^{2}\cdot{}\bruch{1}{k}\cdot{}sin(0)\right]\right)-\left(\left(\left[\bruch{-2(2\pi)}{k^{2}}cos(2k\pi)\right]-\left[\bruch{-2*0}{k^{2}}cos(0)\right]\right)-\left(\left[\bruch{2}{k^{3}}\cdot{}sin(2k\pi)\right]-\left[\bruch{2}{k^{3}}\cdot{}sin(0)\right]\right)\right)\right)
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
> Hallo
>
> Nein, das stimmt leider nicht. Du hast jeweils eine
> Integrationsgrenze vergessen.
>
> Du hast:
>
> [mm]\bruch{1}{\pi}\left(\left[x^{2}\cdot{}\bruch{1}{k}\cdot{}sin(kx)\right]_{0}^{2\pi}-\left(\left[\bruch{-2x}{k^{2}}cos(kx)\right]_{0}^{2\pi}-\left[\bruch{2}{k^{3}}\cdot{}sin(kx)\right]_{0}^{2\pi}\right)\right)[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{\pi}\left(\left(\left[(2\pi)^{2}\cdot{}\bruch{1}{k}\cdot{}sin(2k\pi)\right]-\left[0^{2}\cdot{}\bruch{1}{k}\cdot{}sin(0)\right]\right)-\left(\left(\left[\bruch{-2(2\pi)}{k^{2}}cos(2k\pi)\right]-\left[\bruch{-2*0}{k^{2}}cos(0)\right]\right)-\left(\left[\bruch{2}{k^{3}}\cdot{}sin(2k\pi)\right]-\left[\bruch{2}{k^{3}}\cdot{}sin(0)\right]\right)\right)\right)[/mm]
ist nicht [mm] sin(2\pi) [/mm] = 0 und sin(0)=0 --> erster Term ist 0; gleichwohl der letzte term, nur der mittlere term ergibt einen wert weil [mm] cos(2\pi)=1 [/mm] und cos(0)=1 ist. wie kommst du darauf das ich je eine integrationsgrenze vergessen habe?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:46 Fr 14.05.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Sorry, du hast recht. Ich habe irgendwo da nen Dreher bei meiner Überlegung drin gehabt.
Marius
|
|
|
|
