Integral berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Di 02.11.2010 | | Autor: | thadod |
Sehr geehrte Matheraum Mitarbeiter,
ich habe leider ein kleines Problem mit der Integration folgender Aufgabe:
Sei [mm] f:\IR \to \IR [/mm] gegeben durch f(x)=sin(2x)cos(2x).
Bestimmt werden soll der Wert des Integrals [mm] \integral_{-\pi}^{\pi} [/mm] f(x) [mm] \cdot [/mm] cos(4x)dx
Es ist nun f(x)=sin(2x)cos(2x) und sei g(x)=cos(4x)
[mm] \Rightarrow \integral_{-\pi}^{\pi} [/mm] f(x) [mm] \cdot [/mm] g(x)dx
Ich hätte nun Partielle Integration angewendet und hätte gewählt:
f(x)=sin(2x)cos(2x) [mm] \Rightarrow [/mm] f'(x)=2cos(4x)
g'(x)=sin(4x) [mm] \Rightarrow g(x)=-\bruch{1}{4}cos(4x)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral_{-\pi}^{\pi} [/mm] sin(2x)cos(2x) [mm] \cdot [/mm] cos(4x)dx=sin(2x)cos(2x) [mm] \cdot (-\bruch{1}{4}cos(4x))|_{-\pi}^{\pi}-(\integral_{-\pi}^{\pi}sin(2x)cos(2x) \cdot [/mm] sin(4x)dx)
leider würde sich aber prinzipiell nicht wirklich viel ändern habe ich den Eindruck. Könnte man das ganze auch mit Additionstheoremen lösen? Und wenn ja, welche wären ratsam zu verwenden? Die Additionstheoreme könnte ich mir selber raussuchen.
Ich danke euch.
mfg thadod
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Di 02.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Die Funktion h(x):= f(x)g(x) ist ungerade, also h(-x)=-h(x). Damit ist (ohne Rechnung)
$ [mm] \integral_{-\pi}^{\pi} [/mm] $ f(x) $ [mm] \cdot [/mm] $ g(x)dx = ??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Di 02.11.2010 | | Autor: | thadod |
Hallo Fred,
Damit ist dann [mm] \integral_{-\pi}^{\pi}f(x) \cdot g(x)=-\integral_{-\pi}^{\pi}f(x) \cdot g(x)=-f'(x)g(x)-f(x)g'(x)|_{-\pi}^{\pi}
[/mm]
mfg thadod
|
|
|
| |
|
Hallo Dominic,
das Integral einer ungeraden Funktion über ein um 0 symmetrisches Intervall ist 0.
> Hallo Fred,
>
> Damit ist dann [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}f(x) \cdot g(x)=-\integral_{-\pi}^{\pi}f(x) \cdot g(x)=-f'(x)g(x)-f(x)g'(x)|_{-\pi}^{\pi}[/mm]
>
> mfg thadod
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Di 02.11.2010 | | Autor: | thadod |
Guten abend liebe Matheraum Mitarbeiter,
also ich habe nun nocheinmal versucht mir das klarzumachen, was ihr mir bisher erklärt habt
> Hallo Dominic,
>
> das Integral einer ungeraden Funktion über ein um 0
> symmetrisches Intervall ist 0.
Es gilt also demnach: [mm] \integral_{-\pi}^{\pi}f(x) \cdot [/mm] g(x)=0
Ich kann mir das bisher allerdings partout nicht erklären.
Vielleicht nochmal zur Aufgabe:
Sei [mm] f:\IR \to \IR [/mm] gegeben durch f(x)=sin(2x) [mm] \cdot [/mm] cos(2x). Bestimmen Sie den Wert des bestimmten Integrals [mm] \integral_{-\pi}^{\pi}f(x) \cdot [/mm] sin(4x)dx
Hinweis: Verwendung eines Additionstheorems mag helfen.
Wie wollt ihr nun allerdings beweisen, dass es sich um eine ungerade Funktion handelt?
Der Sinus ist ja eine ungerade Funktion. Der Cosinus eine gerade Funktion.
Aber wie kann man dann auf eine komplett ungerade Funktion schließen.
Und was genau bedeutet 0 - Symmetrisch?
Wäre [mm] \integral_{-2\pi}^{2\pi}cos(x)dx [/mm] ebenfalls 0 - Symmetrisch??? (Ohne nachrechnen)
Vielleicht wäre es ja wirklich besser ein Additionstheorem anzuwenden. Mit bloßen Auge erkenne ich leider nichts...
Bitte um Hilfe.
Mit freundlichen Grüßen und einen schönen abend wünscht thadod
|
|
|
| |
|
>
> Vielleicht nochmal zur Aufgabe:
>
> Sei [mm]f:\IR \to \IR[/mm] gegeben durch f(x)=sin(2x) [mm]\cdot[/mm] cos(2x).
> Bestimmen Sie den Wert des bestimmten Integrals
> [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}f(x) \cdot[/mm] sin(4x)dx
>
> Wie wollt ihr nun allerdings beweisen, dass es sich um eine
> ungerade Funktion handelt?
Hallo,
durch nachrechnen:
wir haben [mm] h(x):=\sin(2x)*\cos(2x)*\sin(4x).
[/mm]
Es ist [mm] h(-x)=\sin(-2x)*\cos(-2x)*\sin(-4x)=-\sin(2x)*\cos(2x)*(-\sin(4x))=\sin(2x)*\cos(2x)*\sin(4x)=h(x), [/mm]
also ist h(x)un gerade,
dh. der Graph ist symmetrisch zur y-Achse.
>
> Und was genau bedeutet 0 - Symmetrisch?
Punktsymmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems.
>
> Wäre [mm]\integral_{-2\pi}^{2\pi}cos(x)dx[/mm] ebenfalls 0 -
> Symmetrisch??? (Ohne nachrechnen)
Du meinst, ob der cos punktsymmetrisch zum Ursprung ist?
Nein. Es ist cos(x)=cos(-x), die cos-Funktion ist symmetrisch zur y-Achse.
Damit bekommt man: [mm] $\integral_{-2\pi}^{2\pi}cos(x)dx$ =2*$\integral_{0}^{2\pi}cos(x)dx$ [/mm] .
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Di 02.11.2010 | | Autor: | abakus |
> Sehr geehrte Matheraum Mitarbeiter,
>
> ich habe leider ein kleines Problem mit der Integration
> folgender Aufgabe:
>
> Sei [mm]f:\IR \to \IR[/mm] gegeben durch f(x)=sin(2x)cos(2x).
Hallo,
laut Doppelwinkelformel gilt [mm] 2*sin\phi [/mm] * [mm] cos\phi [/mm] = sin [mm] 2\phi.
[/mm]
Also gilt sin(2x)cos(2x)=0,5*sin(4x).
Wird das mit cos(4x) multipliziert, entsteht
0,25*sin(8x).
Gruß Abakus
> Bestimmt werden soll der Wert des Integrals
> [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}[/mm] f(x) [mm]\cdot[/mm] cos(4x)dx
>
> Es ist nun f(x)=sin(2x)cos(2x) und sei g(x)=cos(4x)
>
> [mm]\Rightarrow \integral_{-\pi}^{\pi}[/mm] f(x) [mm]\cdot[/mm] g(x)dx
>
> Ich hätte nun Partielle Integration angewendet und hätte
> gewählt:
>
> f(x)=sin(2x)cos(2x) [mm]\Rightarrow[/mm] f'(x)=2cos(4x)
> g'(x)=sin(4x) [mm]\Rightarrow g(x)=-\bruch{1}{4}cos(4x)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \integral_{-\pi}^{\pi}[/mm] sin(2x)cos(2x) [mm]\cdot[/mm]
> cos(4x)dx=sin(2x)cos(2x) [mm]\cdot (-\bruch{1}{4}cos(4x))|_{-\pi}^{\pi}-(\integral_{-\pi}^{\pi}sin(2x)cos(2x) \cdot[/mm]
> sin(4x)dx)
>
> leider würde sich aber prinzipiell nicht wirklich viel
> ändern habe ich den Eindruck. Könnte man das ganze auch
> mit Additionstheoremen lösen? Und wenn ja, welche wären
> ratsam zu verwenden? Die Additionstheoreme könnte ich mir
> selber raussuchen.
>
> Ich danke euch.
>
> mfg thadod
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 Di 02.11.2010 | | Autor: | thadod |
Okay. Aber wir waren doch jetzt ganz woanders hängen geblieben. Scheinbar brauche ich doch garkein Integral mehr berechnen. Da wir ja schon wissen, dass das 0 ist. Oder was wolltest du mir jetzt damit erklären?
MfG thadod
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Okay. Aber wir waren doch jetzt ganz woanders hängen
> geblieben. Scheinbar brauche ich doch garkein Integral mehr
> berechnen. Da wir ja schon wissen, dass das 0 ist. Oder was
> wolltest du mir jetzt damit erklären?
Ja hier ist es so, dass du das Produkt aus 2 ungeraden (Sinus) Funktionen und einer geraden Funktion (Kosinus) hast, das ergibt eine ungerade Funktion, so dass das Integral 0 ist
Mit Abakus' Hinweis kannst du den Integranden schreiben als [mm]\frac{1}{4}\sin(8x)[/mm].
Also eine ungerade Fkt., müsste also wieder 0 ergeben.
Berechne doch mal zur Kontrolle dieses Integral (Substituiere dazu - falls nötig - [mm]u=u(x)=8x[/mm])
>
> MfG thadod
LG
Schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:02 Mi 03.11.2010 | | Autor: | thadod |
Hallo schachuzipus und danke für deine Bemühungen.
Ich sehe leider gerade, dass ich einen Schreibfehler gemacht habe. Das Integral lautet eigentlich wie folgt:
[mm] \integral_{-\pi}^{\pi}f(x) \cdot [/mm] sin(4x)
mit f(x)=sin(2x) [mm] \cdot [/mm] cos(2x)
Ist der Wert des Integrals dann immernoch Null? bzw. handelt es sich dann um eine gerade Funktion?
Sorry für den Fehler. mfg thadod
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus und danke für deine Bemühungen.
>
> Ich sehe leider gerade, dass ich einen Schreibfehler
> gemacht habe. Das Integral lautet eigentlich wie folgt:
>
> [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}f(x) \cdot[/mm] sin(4x)
> mit f(x)=sin(2x) [mm]\cdot[/mm] cos(2x)
>
> Ist der Wert des Integrals dann immernoch Null?
Nein!
> bzw.
> handelt es sich dann um eine gerade Funktion?
Ja, ungerade*gerade*ungerade F. --> gerade F.
Hier hangel dich mal nach Abakus' Vorgaben an den Additionstheoremen entlang, das kannst du sicher analog auf den "neuen" Integranden anwenden ...
Du wirst letztlich das Integral dann doch berechnen müssen ...
>
> Sorry für den Fehler. mfg thadod
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:27 Mi 03.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> handelt es sich dann um eine gerade Funktion?
Nur so nebenbei: warum bist Du eigentlich so faul ?
Ob eine gegebene Funktion (wie oben) gerade , ungerade oder nix von beiden ist, kannst Du doch locker selbst überprüfen:
gilt immer g(-x)=g(x) , so ist g gerade,
gilt immer g(-x)=-g(x) , so ist g ungerade.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:39 Mi 03.11.2010 | | Autor: | thadod |
Danke für eure Hilfe ihr habt mir sehr geholfen...
Sorry an Fred für meine Faulheit. Vielleicht bin ich aber auch ein wenig überfordert. Okay das checken von gerade oder ungerade sollte sitzen. Aber war überfordert mit den trigonometrischen Gesetzen.
Danke für eure Hilfe ihr seit echt die besten.
MFG thadod
|
|
|
|
