Integral berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:53 Mo 31.01.2011 | | Autor: | katrin10 |
| Aufgabe | | Bestimme eine Stammfunktion der Funktion x [mm] \mapsto \bruch{exp(\sin x)*(x*\cos^3 x-sin x)}{\cos^2 x} [/mm] für x [mm] \in (-\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}) [/mm] |
Hallo,
Ich habe mit [mm] \cos^2x+\sin^2x=1 [/mm] und [mm] \arcsin(sinx)=x [/mm] die Funktion umgeschrieben und habe dann [mm] exp(\sin x)*\cos x*(\arcsin(sin x)-\bruch{sin x}{\wurzel{1-\sin^2 x}^3}) [/mm] erhalten. Dann wollte ich [mm] \sin(x) [/mm] substituieren, allerdings erhalte ich dann ein Integral, was keine Vereinfachung ist.
Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar.
Katrin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:25 Di 01.02.2011 | | Autor: | Sax |
Hi,
versuche es mal mit dem Ansatz F(x) = exp(sin(x))*g(x).
Das liefert eine (durch Raten lösbare) Differentialgleichung für g.
Gruß Sax.
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Hallo Katrin,
der Ansatz von Sax ist glaube ich einfacher als meiner.
Ich habe mal probiert, partiell zu integrieren. Das ist schon ein ziemliches Gefummel, geht aber.
Dazu braucht man allerdings
[mm] \int{\bruch{x\cos^3{x}-\sin{x}}{\cos^2{x}}\ dx}=\int{x\cos{x}\ dx}-\int{\bruch{\sin{x}}{\cos^2{x}}\dx}=x\sin{x}+\cos{x}-\bruch{1}{\cos{x}}+C
[/mm]
- und das ist ja schonmal die erste Hürde.
Danach wirds nicht viel besser, am man kommt immerhin zu einem Ergebnis.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Di 01.02.2011 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
vielen Dank für die schnellen Antworten.
Da wir bisher noch keine Differentialgleichungen behandelt haben, muss ich das Integral wahrscheinlich mit partieller Integration berechnen. $ [mm] \int{\bruch{x\cos^3{x}-\sin{x}}{\cos^2{x}}\ dx}=x\sin{x}+\cos{x}-\bruch{1}{\cos{x}}$ [/mm] habe ich gezeigt. Nun muss ich noch [mm] $\int{\exp(\sin{x})\cos{x}(x\sin{x} +cos{x}-\bruch{1}{\cos(x)})dx}$ [/mm] berechnen. Das Integral wollte ich in drei Integrale zerlegen, allerdings weiß ich nicht, wie ich diese am geschicktesten berechnen kann. Für [mm] \int{x\exp(\sin(x))\cos(x)sin(x)}dx [/mm] habe ich [mm] x\exp(\sin(x))(\sin(x)-1)-\int{\exp(\sin(x))(\sin(x)-1)}dx [/mm] erhalten und ich weiß nicht, wie ich dies weiter vereinfachen kann.
Katrin
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Hallo katrin10,
> Hallo,
>
> vielen Dank für die schnellen Antworten.
>
> Da wir bisher noch keine Differentialgleichungen behandelt
> haben, muss ich das Integral wahrscheinlich mit partieller
> Integration berechnen.
> [mm]\int{\bruch{x\cos^3{x}-\sin{x}}{\cos^2{x}}\ dx}=x\sin{x}+\cos{x}-\bruch{1}{\cos{x}}[/mm]
> habe ich gezeigt. Nun muss ich noch
> [mm]\int{\exp(\sin{x})\cos{x}(x\sin{x} +cos{x}-\bruch{1}{\cos(x)})dx}[/mm]
> berechnen. Das Integral wollte ich in drei Integrale
> zerlegen, allerdings weiß ich nicht, wie ich diese am
> geschicktesten berechnen kann. Für
> [mm]\int{x\exp(\sin(x))\cos(x)sin(x)}dx[/mm] habe ich
> [mm]x\exp(\sin(x))(\sin(x)-1)-\int{\exp(\sin(x))(\sin(x)-1)}dx[/mm]
> erhalten und ich weiß nicht, wie ich dies weiter
> vereinfachen kann.
>
Berechne zunächst alle noch ausstehenden Teilintegrale:
[mm]\integral_{}^{}{x*e^{\sin\left(x\right)}*\sin\left(x\right)*\cos\left(x\right) \ dx}= \ ...[/mm]
[mm]\integral_{}^{}{e^{\sin\left(x\right)}*\cos\left(x\right)*\cos\left(x\right) \ dx}= \ ...[/mm]
[mm]\integral_{}^{}{e^{\sin\left(x\right)}*\cos\left(x\right)\bruch{-1}{cos\left(x\right)} \ dx}= \ ...[/mm]
Dann stellst Du fest, daß sich einige bei Berechnung
dieser Teilintegrale entstehenden Integrale gegenseitig aufheben.
> Katrin
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Di 01.02.2011 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
beim Berechnen der Integrale mit partieller Integration und mit Substitution versucht, aber ich erhalte immer wieder ein neues Integral und ich weiß nicht, wie ich das Lösen soll. Muss ich sin(x) substituieren und dann partiell integrieren oder wie kann ich die Integrale sonst lösen?
Über einen Tipp bin ich sehr dankbar.
Katrin
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Hallo katrin10,
> Hallo,
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> beim Berechnen der Integrale mit partieller Integration und
> mit Substitution versucht, aber ich erhalte immer wieder
> ein neues Integral und ich weiß nicht, wie ich das Lösen
> soll. Muss ich sin(x) substituieren und dann partiell
> integrieren oder wie kann ich die Integrale sonst lösen?
Integrale wie
[mm]\integral_{}^{} {e^{\sin\left(x\right)} \ dx}, \ \integral_{}^{} {\sin\left(x\right)*e^{\sin\left(x\right)} \ dx} [/mm]
brauchst Du auch nich weiter lösen.
>
> Über einen Tipp bin ich sehr dankbar.
>
> Katrin
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Di 01.02.2011 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
zwei der Integrale habe ich nun gelöst, für das Integral $ [mm] \integral_{}^{}{e^{\sin\left(x\right)}\cdot{}\cos\left(x\right)\cdot{}\cos\left(x\right) \ dx} [/mm] $ habe ich bisher noch keine vernünftige Lösung erhalten. Ich wollte es partiell integrieren und habe dazu [mm] \cos^2{x} [/mm] integriert und [mm] \exp(sin{x}) [/mm] abgeleitet und dabei [mm] 1/2\exp(sinx)(cosx*sinx+x)-1/2\integral_{}^{}{e^{\sin\left(x\right)}\cdot{}\cos\left(x\right)\cdot{}\cos\left(x\right) \sin\left(x\right) \ dx} -1/2\exp(sinx) [/mm] erhalten. Allerdings komme ich hier nicht weiter.
Vielen Dank.
Katrin
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Hallo Katrin,
da hat jemand eine ziemlich frustrierende Aufgabe gestellt. Es ist kaum möglich, sauber zwischen den zahlreichen Klippen durchzuschippern.
> zwei der Integrale habe ich nun gelöst, für das Integral
> [mm]\integral_{}^{}{e^{\sin\left(x\right)}\cdot{}\cos\left(x\right)\cdot{}\cos\left(x\right) \ dx}[/mm]
> habe ich bisher noch keine vernünftige Lösung erhalten.
Das ist nicht verwunderlich; es gibt keine "vernünftige" Lösung. Du musst dieses Integral auf dem Weg verlieren, sprich also additiv eliminieren.
> Ich wollte es partiell integrieren und habe dazu [mm]\cos^2{x}[/mm]
> integriert und [mm]\exp(sin{x})[/mm] abgeleitet und dabei
> [mm]1/2\exp(sinx)(cosx*sinx+x)-1/2\integral_{}^{}{e^{\sin\left(x\right)}\cdot{}\cos\left(x\right)\cdot{}\cos\left(x\right) \sin\left(x\right) \ dx} -1/2\exp(sinx)[/mm]
> erhalten. Allerdings komme ich hier nicht weiter.
Bis dahin gut gearbeitet, aber es geht hier einfach nicht weiter. Die Integration ist eine hohe Kunst, und man weiß nie so recht, ob man nur nicht die passende Idee hatte, oder ob es wirklich nicht geht. Das weiß ich auch nicht, aber wenigstens weiß der leistungsstarke ![[]](/images/popup.gif) Wolfram Integrator hier auch nicht mehr weiter.
Dein ursprünglich zu ermittelndes Integral wird dort so gelöst, wobei der im englischsprachigen Raum häufig verwendete Sekans auftaucht, also der Kehrwert des Cosinus.
Vielleicht findest Du das Ende des Wegs, den Du jetzt "vorwärts" schon so weit gegangen bist, wenn Du die Lösung ableitest:
[mm] F(x)=e^{\sin{x}}\left(x-\bruch{1}{\cos{x}}\right)+C
[/mm]
Viel Erfolg weiterhin bei dieser harten Aufgabe!
reverend
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