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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Integral berechnen?
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Integral berechnen?: Aufgabenart
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:24 Mo 20.06.2005
Autor: Prinzessin83

Hallo,

ich habe vor einer Zeit schon Integrale berechnet (mühsam). Jetzt haben wir irgendwie andere Aufgabentypen dazu bekommen.
Ich schreibe hier mal 2 davon rein, die sich für mich unterscheiden.

Hoffe mir kann jemand helfen.

1.
[mm] \integral_{1}^{2} \integral_{\bruch{1}{x}}^{x} {\bruch{x^2}{y^2} dydx} [/mm]

2.
[mm] \integral_{-1}^{1} \integral_{0}^{2} {(1-6x^2 y) dydx} [/mm]

Vielen Dank für eure Mühe!! Wie immer!

        
Bezug
Integral berechnen?: Einzeln berechnen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:56 Mo 20.06.2005
Autor: Roadrunner

Hallo Prinzessin!


Diese Art Integrale mußt Du von innen nach außen berechnen.

Da bei wird bei dem inneren Integral einer der beiden Variablen als konstant angesehen (abhängig von [mm] $\red{dx}$ [/mm] bzw. [mm] $\blue{dy} [/mm] )$.

Ich zeige Dir das mal bei Deinem ersten Beispiel:

[mm]\red{\integral_{1}^{2}} \blue{\integral_{\bruch{1}{x}}^{x} {\bruch{x^2}{y^2} \ dy}} \ \red{dx}[/mm]

Beginnen wir hier mit dem inneren Integral:

[mm]\blue{\integral_{\bruch{1}{x}}^{x} {\bruch{x^2}{y^2} \ dy}}[/mm]

Hier wird nun nach y integriert (wegen [mm] $\blue{dy}$), [/mm] also ist der Faktor [mm] $x^2$ [/mm] als konstant anzusehen:

[mm]\integral_{\bruch{1}{x}}^{x} {\bruch{x^2}{y^2} \ dy}[/mm]

[mm]= \ x^2 * \integral_{\bruch{1}{x}}^{x}{y^{-2} \ dy}[/mm]

[mm]= \ x^2 * \left[-y^{-1}\right]_{\bruch{1}{x}}^{x}[/mm]

[mm]= \ x^2 * \left[-\bruch{1}{y}\right]_{\bruch{1}{x}}^{x}[/mm]

[mm]= \ x^2 * \left[-\bruch{1}{x} - \left(-\bruch{1}{\bruch{1}{x}\right)\right][/mm]

[mm]= \ x^2 * \left[-\bruch{1}{x} + x\right][/mm]

[mm]= \ -x + x^3[/mm]


Nun mußt Du noch das Integral [mm] $\red{\integral_{1}^{2} {-x + x^3 \ dx}}$ [/mm] lösen.

Das schaffst Du doch selber, oder?


Was erhältst Du für die zweite Aufgabe?

Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Integral berechnen?: Versuch
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:00 Mo 20.06.2005
Autor: Prinzessin83

Hallo,

vielen dank dir! Ist sehr ausführlich!

Ich habe jetzt so weiter gemacht

[mm] {\integral_{1}^{2} {-x + x^3 \ dx}} [/mm]
[mm] =[-\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{4}x^4]_{1}^{2} [/mm]

[mm] =[-\bruch{1}{2}2^2+\bruch{1}{4}2^4]-(-\bruch{1}{2}1^2+\bruch{1}{4}1^4) [/mm]

[mm] =-2+4-\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4} [/mm]
[mm] =\bruch{9}{4} [/mm]

Richtig?

Jetzt 2.

[mm] \integral_{-1}^{1} \integral_{0}^{2} {(1-6x^2 y) dydx} [/mm]

Innere Integral:
[mm] \integral_{0}^{2} {(1-6x^2 y) dy} [/mm]
[mm] =[x-2x^3 y]_{0}^{2} [/mm]
[mm] =x-2x^3*2-x+2x^3*0 [/mm]
[mm] =-4x^3 [/mm]

Jetzt das Integral [mm] \integral_{-1}^{1} {-4x^3 dx} [/mm]

[mm] =[-x^4]_{-1}^{1} [/mm]
=-1-(-1)
=0


Habe ich was falsch gemacht??

Danke!!!

Bezug
                        
Bezug
Integral berechnen?: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:19 Mo 20.06.2005
Autor: Roadrunner

Hall Prinzessin!


> [mm]{\integral_{1}^{2} {-x + x^3 \ dx}}[/mm]
>  
> [mm]=[-\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{4}x^4]_{1}^{2}[/mm]
>  
> [mm]=[-\bruch{1}{2}2^2+\bruch{1}{4}2^4]-(-\bruch{1}{2}1^2+\bruch{1}{4}1^4)[/mm]
>  
> [mm]=-2+4-\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}[/mm]

[notok] Tippfehler! (Das Endergebnis stimmt aber ... [ok] !)

[mm]=-2+4 \ \red{+} \ \bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}[/mm]



> [mm]=\bruch{9}{4}[/mm]
>  
> Richtig?

[daumenhoch]




  

> Jetzt 2.
>  
> [mm]\integral_{-1}^{1} \integral_{0}^{2} {(1-6x^2 y) dydx}[/mm]
>  
> Innere Integral:
> [mm]\integral_{0}^{2} {(1-6x^2 y) dy}[/mm]

[ok]


> [mm]=[x-2x^3 y]_{0}^{2}[/mm]

[notok] Der innere Integrand ist doch [mm] $\red{y}$ [/mm] (wegen [mm] $\red{dy}$ [/mm] ) !!

Dieser Integrand steht nämlich als innerstes ...


Du mußt hier also nach [mm] $\red{y}$ [/mm] integrieren:

[mm]= \ \left[\red{y}-6x^2*\red{\bruch{1}{2}y^2}\right]^{2}_{0}[/mm]

[mm]= \ \left[y-3x^2*y^2\right]_{0}^{2}[/mm]


Fehler erkannt? Und [lichtaufgegangen] ??

Schaffst Du den Rest alleine?


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                
Bezug
Integral berechnen?: 2 Versuch
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:42 Mo 20.06.2005
Autor: Prinzessin83

Danke für die Korrekturen!

Also ich gehe jetzt mal hier weiter
$ = \ [mm] \left[y-3x^2\cdot{}y^2\right]_{0}^{2} [/mm] $

[mm] =2-3x^2*4-0+0 [/mm]
[mm] =-12x^2+2 [/mm]

Und jetzt [mm] \integral_{-1}^{1} {-12x^2+2 dx} [/mm]

[mm] =[-4x^3+x^2]_{-1}^{1} [/mm]
=-4+1-(4+1)
=-8

So jetzt ??


Bezug
                                        
Bezug
Integral berechnen?: Stammfunktion falsch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:51 Mo 20.06.2005
Autor: Roadrunner

Hallo ...


> Also ich gehe jetzt mal hier weiter
> [mm]= \ \left[y-3x^2\cdot{}y^2\right]_{0}^{2}[/mm]
>  
> [mm]=2-3x^2*4-0+0[/mm]
> [mm]=-12x^2+2[/mm]
>  
> Und jetzt [mm]\integral_{-1}^{1} {-12x^2+2 dx}[/mm]

[daumenhoch]


> [mm]=[-4x^3+x^2]_{-1}^{1}[/mm]

[notok] Hier hast Du Dich mit der Stammfunktion des hinteren Terms vertan:

[mm] $\integral_{}^{} [/mm] {2 \ dx} \ = \ [mm] 2\red{x}$ [/mm]


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                                
Bezug
Integral berechnen?: 3 Versuch...
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:03 Mo 20.06.2005
Autor: Prinzessin83

Ups, das ist ein blöder Fehler...

Also
[mm] =[-4x^3+2x]_{-1}^{1} [/mm]

=-4+2-(4-2)
=-4


Jetzt hoffe ich, das es stimmt....

Bezug
                                                        
Bezug
Integral berechnen?: Jetzt stimmt's ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:14 Mo 20.06.2005
Autor: Roadrunner

Hallo Eure Hoheit ;-) ...



> Also  [mm]=[-4x^3+2x]_{-1}^{1}[/mm] =-4+2-(4-2) =-4

[daumenhoch] Yes!


System dieser Integraltypen nun (halbwegs) verstanden ??


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                                                
Bezug
Integral berechnen?: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:00 Di 21.06.2005
Autor: Prinzessin83

Danke dir für die Erklärungen!

Ich weiß jetzt wie man das berechnet, aber wozu man das braucht bzw. was man damit anfangen kannst weiß ich nicht, wie so oft.

Gute Nacht!

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