Integral berechnen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 Fr 11.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Berechnen Sie:
[mm] \integral_0^{\pi} (\integral_x^{\pi} \bruch{sin(y)}{y} [/mm] dy)dx.
Hinweis: [mm] \bruch{sin(y)}{y} [/mm] besitzt keine elementare Stammfunktion. |
Also... ich habe absolut keine Idee, wie man dieses Monstrum berechnen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 Fr 11.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Mach Dir mal klar über welchen Bereich im [mm] \IR^2 [/mm] integriert wird.
Dann siehst Du mit Fubini:
$ [mm] \integral_0^{\pi} (\integral_x^{\pi} \bruch{sin(y)}{y} [/mm] dy)dx = [mm] \integral_0^{\pi} (\integral_0^{y} \bruch{sin(y)}{y} [/mm] dx)dy.$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Fr 11.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ich weiß nicht, über welchem Bereich im [mm] \IR^2 [/mm] hier integriert werden soll...
Vielleicht [mm] [0,\pi]\times [x,\pi]?[/mm]
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Wenn du diese Frage auch in andern Foren stellst, ist das für mich kein Problem (für andere hier schon). Allerdings solltest du dann so ehrlich sein und das den Leuten auch sagen. Denk an den Baron aus Franken!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:59 Fr 11.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
In Ordnung! Mache ich zukünftig.
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Hallo dennis2,
> Über welchem Bereich des [mm]\IR^2[/mm] integriert wird?
>
> Ich würde sagen über [mm][0,\pi]\times [x,\pi][/mm] - oder?
Ja.
Mach Dir eine Skizze des Integrationsbereiches,
dann weisst Du auch, wie Du die Integrations-
reihenfolge ändern kannst.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Fr 11.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Kannst Du das vielleicht näher erklären - wie ich so eine Skizze mache und daran dann sehe, wie ich vertauschen kann?
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Hallo dennis2,
> Kannst Du das vielleicht näher erklären - wie ich so eine
> Skizze mache und daran dann sehe, wie ich vertauschen kann?
Zeichne den Integrationsbereich in ein geeignetes Koordinatensystem.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Fr 11.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Und dann sieht man, dass man rechnen kann:
$ [mm] \integral_0^{\pi} (\integral_x^{\pi} \bruch{sin(y)}{y} [/mm] dy)dx = [mm] \integral_0^{\pi} (\integral_0^{y} \bruch{sin(y)}{y} [/mm] dx)dy.$ ?
Was hat man dann gewonnen?
Löst man jetzt erst das innere Integral (partielle Integration?), dann das äußere?
EDIT:
Ich glaube, da habe ich mich wohl geirrt, das innere Integral ergibt dann ja nichts Anderes als sin(y) und dann kann man [mm] \int_0^{\pi} \sin(y)dy [/mm] berechnen.
Ergebnis ist dann 2.
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Hallo dennis2,
> Und dann sieht man, dass man rechnen kann:
>
> [mm]\integral_0^{\pi} (\integral_x^{\pi} \bruch{sin(y)}{y} dy)dx = \integral_0^{\pi} (\integral_0^{y} \bruch{sin(y)}{y} dx)dy.[/mm]
> ?
>
> Was hat man dann gewonnen?
Gewonnen hat man die Berechenbarkeit des Integrals.
> Löst man jetzt erst das innere Integral (partielle
> Integration?), dann das äußere?
>
Ja.
Für das innere Integral auf der rechten Seite
benötigst Du keine partielle Integration.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Fr 11.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ich habe die Rechnung durchgeführt (Edit letzter Beitrag), Ergebnis ist 2.
Nun noch eine abschließende Frage: Hier wendet man den Satz von Fubini an: Warum darf man ihn hier anwenden, das müsste man sicher noch dazu schreiben.
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Hallo dennis2,
> Ich habe die Rechnung durchgeführt (Edit letzter Beitrag),
> Ergebnis ist 2.
>
> Nun noch eine abschließende Frage: Hier wendet man den
> Satz von Fubini an: Warum darf man ihn hier anwenden, das
> müsste man sicher noch dazu schreiben.
Es handelt sich hier im kompakte Intervalle,
desweiteren ist der Integrand stetig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Fr 11.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Bei Wikipedia lese ich für den Satz von Fubini für das Lebesgue-Integral:
"Sei f(x,y) eine reelle meßbare Funktion, die bezüglich des Produktmaßes d(x,y) integrierbar ist, d.h. es gelte
[mm] \int_{I\times J} |f(x,y)|d(x,y)<\infty [/mm]
oder sei f eine reelle, meßbare und nichtnegative Funktion, d.h. [mm] f(x,y)\geq [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x,y.
Dann [hier folgen die Aussagen des Satzes]..."
Sehe ich das richtig, dass [mm] \bruch{sin(y)}{y} [/mm] reell, meßbar (weil stetig) und nichtnegativ ist und man daher den Satz anwenden darf?
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> Bei Wikipedia lese ich für den Satz von Fubini für das
> Lebesgue-Integral:
>
> "Sei f(x,y) eine reelle meßbare Funktion, die bezüglich
> des Produktmaßes d(x,y) integrierbar ist, d.h. es gelte
> [mm]\int_{I\times J} |f(x,y)|d(x,y)<\infty[/mm]
>
> oder sei f eine reelle, meßbare und nichtnegative
> Funktion, d.h. [mm]f(x,y)\geq[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] x,y.
> Dann [hier folgen die Aussagen des Satzes]..."
>
>
> Sehe ich das richtig, dass [mm]\bruch{sin(y)}{y}[/mm] reell, meßbar
> (weil stetig) und nichtnegativ ist und man daher den Satz
> anwenden darf?
Hallo dennis2,
die vorliegende Funktion [mm] f(x,y)=\frac{sin(y)}{y} [/mm] ist bis auf
die Ausnahme mit y=0 , die man aber leicht "ausbügeln"
kann, auf ganz [mm] \IR^2 [/mm] und damit auch im gesamten
Integrationsbereich stetig.
Dieser ist allerdings hier gar nicht ein Rechteck der Form
[mm] I\times{J} [/mm] mit vorgegebenen Intervallen I und J , sondern hat
die Form eines Dreiecks, nachdem man auch noch für
(x/y)=(0/0) den passenden Wert f(0,0)=1 definiert hat.
Dann hat man eine auf einem kompakten Definitions-
bereich stetige Funktion. Diese ist offensichtlich
integrierbar.
LG
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> Ich weiß nicht, über welchem Bereich im [mm]\IR^2[/mm] hier
> integriert werden soll...
>
> Vielleicht [mm][0,\pi]\times [x,\pi]?[/mm]
Man kann den Integrationsbereich hier nicht als
Produkt [mm] I\times{J} [/mm] von festen Intervallen I und J schreiben,
da eine Grenze des inneren Integrals jeweils von
x (oder aber von y) abhängig ist. Zeichne dir das
Integrationsgebiet auf !
LG Al Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Fr 11.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
>
> Dann siehst Du mit Fubini:
>
>
>
> [mm]\integral_0^{\pi} (\integral_x^{\pi} \bruch{sin(y)}{y} dy)dx = \integral_0^{\pi} (\integral_0^{y} \bruch{sin(y)}{y} dx)dy.[/mm]
>
> FRED
1. Warum kann man Fubini anwenden?
2. Wenn ich zuerst die äußere Integration durchführe, wähle ich ein x und integriere dann "innen" nach y. Oder ich vertausche es und wähle erst ein y. Aber wieso steht das y bei dem Integral als obere Grenze?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:35 Fr 11.03.2011 | | Autor: | gfm |
> >
> > Dann siehst Du mit Fubini:
> >
> >
> >
> > [mm]\integral_0^{\pi} (\integral_x^{\pi} \bruch{sin(y)}{y} dy)dx = \integral_0^{\pi} (\integral_0^{y} \bruch{sin(y)}{y} dx)dy.[/mm]
>
> >
> > FRED
>
> 1. Warum kann man Fubini anwenden?
> 2. Wenn ich zuerst die äußere Integration durchführe,
> wähle ich ein x und integriere dann "innen" nach y. Oder
> ich vertausche es und wähle erst ein y. Aber wieso steht
> das y bei dem Integral als obere Grenze?
[mm] \integral_0^{\pi}\left(\integral_x^{\pi}\bruch{\sin{y}}{y}dy\right)dx=\integral_\IR1_{[0,\pi]}(x)\left(\integral_\IR1_{[x,\pi]}(y)\bruch{\sin{y}}{y}d\lambda(y)\right)d\lambda(x)=\integral_{\IR^2} 1_{[0,\pi]}(x)1_{[x,\pi]}(y)\bruch{\sin{y}}{y}d^2\lambda(x,y)=\integral_\IR\left(\bruch{\sin{y}}{y}\integral_\IR1_{[0,\pi]}(x)1_{[x,\pi]}(y)d\lambda(x)\right)d\lambda(y)
[/mm]
[mm] =\integral_\IR\left(\bruch{\sin{y}}{y}\integral_\IR1_{[0,\pi]}(x)1_{(-\infty,\pi]}(y)1_{[x,\infty)}(y)d\lambda(x)\right)d\lambda(y)=\integral_\IR\left(1_{(-\infty,\pi]}(y)\bruch{\sin{y}}{y}\integral_\IR1_{[0,\pi]}(x)1_{(-\infty,y]}(x)d\lambda(x)\right)d\lambda(y)
[/mm]
[mm] =\integral_\IR1_{(-\infty,\pi]}(y)\bruch{\sin{y}}{y}\lambda\left([0,\pi]\cap(-\infty,y]\right)d\lambda(y)=\integral_\IR1_{(-\infty,\pi]}(y)\bruch{\sin{y}}{y}\min(y,\pi)1_{[0,\infty)}(y)d\lambda(y)=\integral_\IR1_{[0,\pi]}(y)\bruch{\sin{y}}{y}yd\lambda(y)=\integral_0^\pi\sin{y}dy
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:55 Fr 11.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Was ist denn das?
Das sieht ja grausam aus!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Fr 11.03.2011 | | Autor: | gfm |
> Was ist denn das?
>
> Das sieht ja grausam aus!
Ging mir früher auch so. Bis ich dann den Einsatz von Indikatorfunktionen schätzen gelernt habe. Und wenn Du Dich an sie gewöhnst, wirst Du feststellen, dass oft Rechnungen wie an der Schnur gezogen fast von alleine ablaufen und sich die Berechung mancher Integrale durch eine simple Manipulation von Indikatorfunktionen erledigt.
LG
gfm
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> > Dann siehst Du mit Fubini:
> >
> > [mm]\integral_0^{\pi} (\integral_x^{\pi} \bruch{sin(y)}{y} dy)dx = \integral_0^{\pi} (\integral_0^{y} \bruch{sin(y)}{y} dx)dy.[/mm]
>
> >
> > FRED
>
> 1. Warum kann man Fubini anwenden?
> 2. Wenn ich zuerst die äußere Integration durchführe,
> wähle ich ein x und integriere dann "innen" nach y. Oder
> ich vertausche es und wähle erst ein y. Aber wieso steht
> das y bei dem Integral als obere Grenze?
Hallo dennis2
Wenn du das auf weniger "grausame" Weise als mittels
Indikatorfunktionen einsehen möchtest, solltest du genau
den Tipp befolgen, den dir FRED schon gegeben hat:
Zeichne dir das Integrationsgebiet des Doppelintegrals
in der x-y-Ebene auf !
Schau genau, wie man dieses Gebiet durch-"scannt",
wenn man in der Reihenfolge
[mm] $\integral_{x=x_{min}}^{x_{max}}dx\left(\ \integral_{y=y_{min}}^{y_{max}}f(x,y)\ dy\right)$
[/mm]
oder aber [mm] $\integral_{y=y_{min}}^{y_{max}}dy\left(\ \integral_{x=x_{min}}^{x_{max}}f(x,y)\ dx\right)$
[/mm]
integriert.
Um die Voraussetzung der Stetigkeit des Integranden
auf einem kompakten Gebiet zu erfüllen, ist noch eine
kleine zusätzliche Überlegung erforderlich, da ja der
Integrand [mm] \bruch{sin(y)}{y} [/mm] zunächst für y=0 ja gar nicht defi-
niert ist.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:39 Fr 11.03.2011 | | Autor: | gfm |
> > > Dann siehst Du mit Fubini:
> > >
> > > [mm]\integral_0^{\pi} (\integral_x^{\pi} \bruch{sin(y)}{y} dy)dx = \integral_0^{\pi} (\integral_0^{y} \bruch{sin(y)}{y} dx)dy.[/mm]
>
> >
> > >
> > > FRED
> >
> > 1. Warum kann man Fubini anwenden?
> > 2. Wenn ich zuerst die äußere Integration
> durchführe,
> > wähle ich ein x und integriere dann "innen" nach y. Oder
> > ich vertausche es und wähle erst ein y. Aber wieso steht
> > das y bei dem Integral als obere Grenze?
>
>
> Hallo dennis2
>
> Wenn du das auf weniger "grausame" Weise als mittels
> Indikatorfunktionen einsehen möchtest, solltest du genau
> den Tipp befolgen, den dir FRED schon gegeben hat:
> Zeichne dir das Integrationsgebiet des Doppelintegrals
> in der x-y-Ebene auf !
> Schau genau, wie man dieses Gebiet durch-"scannt",
> wenn man in der Reihenfolge
>
> [mm]\integral_{x=x_{min}}^{x_{max}}dx\left(\ \integral_{y=y_{min}}^{y_{max}}f(x,y)\ dy\right)[/mm]
>
> oder aber [mm]\integral_{y=y_{min}}^{y_{max}}dy\left(\ \integral_{x=x_{min}}^{x_{max}}f(x,y)\ dx\right)[/mm]
>
> integriert.
>
> Um die Voraussetzung der Stetigkeit des Integranden
> auf einem kompakten Gebiet zu erfüllen, ist noch eine
> kleine zusätzliche Überlegung erforderlich, da ja der
> Integrand [mm]\bruch{sin(y)}{y}[/mm] zunächst für y=0 ja gar
> nicht defi-
> niert ist.
>
> LG Al-Chw.
Findest Du das auch so grausam? Natürlich kann man hier mit der Anschaung arbeiten, weil man über einen ebenen euklidischen Bereich integriert. Im höherdiemensinalen muss man sich aber schon ganz gehörig anstrengen.
Was ist so grausam daran
[mm] \int_0^\pi\int_x^\pi...dydx
[/mm]
in
[mm] \int 1_{[0,\pi]}(x)\int 1_{[x,\pi]}(y)...dydx
[/mm]
zu übersetzen? An
[mm] 1_{[0,\pi]}(x)1_{[x,\pi]}(y)
[/mm]
sieht man doch sehr schön, wie das Integrationsgebiet aussieht:
x läuft von 0 bis [mm] \pi [/mm] und für ein festes x läuft y dabei von x bis [mm] \pi. [/mm] Eine vertikale gerade "scannt" dabei das Gebiet und schneidet jeweils das y-Intervall [mm] [x,\pi] [/mm] aus dem Gebiet heraus. Es ist ein Dreieck mit den Punkten [mm] (0,0),(0,\pi) [/mm] und [mm] (\pi,\pi).
[/mm]
Klar ist, dass man dass auch horizontal durchscannen kann, was man möchte, da der Integrand von nur von y abhängt. Denn dann kann man erst über x integrieren, was den Integrand konstant läßt, um so mit der Hoffnung es dann leichter zu haben am Ende die y-Integration ausführt.
Da zu muss man
[mm] 1_{[0,\pi]}(x)1_{[x,\pi]}(y)
[/mm]
so umschreiben, dass in beiden Indikatorfunktionen x als Argument auftaucht:
[mm] 1_{[0,\pi]}(x)1_{[x,\pi]}(y)=1_{[0,\pi]}(x)1_{[0,y]}(x)
[/mm]
LG
gfm
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Es kommt doch immer darauf an, was man erreichen will. Jedem Problem die ihm angemessene Methode. Aber doch nicht eine Methode für alle Probleme. Die Sache mit den Indikatorfunktionen ist sicher sehr praktisch für abstrakte Definitionen, Herleitungen und Beweise. Fürs konkrete Rechnen, und darum geht es hier, ist sie wohl eher weniger passend.
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Hallo gfm !
> Findest Du das auch so grausam?
Nein. Da habe ich einfach mal den Begriff so übernommen.
Aber etwas kompliziert ist die Sache doch ohne Zweifel schon.
Da begrüße ich die Tatsache, dass man sich die Situation im [mm] \IR^2 [/mm]
doch ganz nett und einfach skizzieren kann.
> Natürlich kann man hier
> mit der Anschaung arbeiten, weil man über einen ebenen
> euklidischen Bereich integriert. Im höherdiemensinalen
> muss man sich aber schon ganz gehörig anstrengen.
Darf ich mal die kleine Rückfrage stellen, wie oft du schon
Bereichsintegrale (mit nicht ganz trivialen Integrations-
bereichen) z.B. im [mm] \IR^4 [/mm] oder in noch höherdimensionalen
Räumen berechnet hast ?
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Sa 12.03.2011 | | Autor: | gfm |
> Hallo gfm !
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> > Findest Du das auch so grausam?
>
> Nein. Da habe ich einfach mal den Begriff so übernommen.
> Aber etwas kompliziert ist die Sache doch ohne Zweifel
> schon.
> Da begrüße ich die Tatsache, dass man sich die Situation
> im [mm]\IR^2[/mm]
> doch ganz nett und einfach skizzieren kann.
Ja und es das letzte mal die Chance die Leichtigkeit der Anschauung mit der leicht auf allgemeinere und höherdimensionale Fälle anwendbaren Kalkül mit den Indikatorfuntionen zu verknüpfen, bevor Sie dann wieder unvorbereitet in der Maßtheroie und W-Theorie auftauchen.
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> > Natürlich kann man hier
> > mit der Anschaung arbeiten, weil man über einen ebenen
> > euklidischen Bereich integriert. Im höherdiemensinalen
> > muss man sich aber schon ganz gehörig anstrengen.
>
> Darf ich mal die kleine Rückfrage stellen, wie oft du
> schon
> Bereichsintegrale (mit nicht ganz trivialen Integrations-
> bereichen) z.B. im [mm]\IR^4[/mm] oder in noch höherdimensionalen
> Räumen berechnet hast ?
Regelmäßig. Z.B. Integrale der Form
[mm] \integral_{\IR^n}1_{[0,1]^n\cap f^{-1}((-\infty,t])}d^n\lambda
[/mm]
für reellwertige f auf dem [mm] \IR^n.
[/mm]
LG
gfm
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