Integral berechnen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 So 05.06.2011 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das Integral [mm] \integral \bruch{\wurzel{x}}{x} [/mm] |
Ich bin nun am überlegen wie ich das ganze geschickt substituieren kann.
Ansonsten würde mir nur die partielle Integration [mm] \integral \wurzel{x} [/mm] * [mm] x^{-1} [/mm] einfallen, welche aber sicher nicht so schön wird.
Danke für Tipps!
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> Berechnen Sie das Integral [mm]\integral \bruch{\wurzel{x}}{x}[/mm]
Vereinfache doch erstmal [mm] \bruch{\wurzel{x}}{x} [/mm] indem du die Potenzgesetze anwendest.
[mm] \bruch{a^{x}}{a^{z}} [/mm] = [mm] a^{x-z}
[/mm]
>
> Ich bin nun am überlegen wie ich das ganze geschickt
> substituieren kann.
>
> Ansonsten würde mir nur die partielle Integration
> [mm]\integral \wurzel{x}[/mm] * [mm]x^{-1}[/mm] einfallen, welche aber sicher
> nicht so schön wird.
>
> Danke für Tipps!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 So 05.06.2011 | | Autor: | zocca21 |
D.h. ich kann das umschreiben als:
[mm] \bruch{\wurzel{x}}{x} [/mm] = [mm] x^{\bruch{1}{2} -1} [/mm] = [mm] x^{-1/2} [/mm] ?
Wobei dann dass Integral wäre: 2 [mm] \wurzel{x}
[/mm]
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> D.h. ich kann das umschreiben als:
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> [mm]\bruch{\wurzel{x}}{x}[/mm] = [mm]x^{\bruch{1}{2} -1}[/mm] = [mm]x^{-1/2}[/mm] ?
>
> Wobei dann dass Integral wäre: 2 [mm]\wurzel{x}[/mm]
>
>
>
>
richtig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 So 05.06.2011 | | Autor: | zocca21 |
Super Vielen Dank!
Ich hätte zum Schluss noch eine Frage um gerade hier ein Verständnis zu bekommen:
Hätte ich nun [mm] \integral \bruch{\wurzel{x}}{x+1} [/mm] wie kann ich dann hier geschickt vorgehen?
Vielen Dank nochmal
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Hallo zocca21,
> Super Vielen Dank!
>
> Ich hätte zum Schluss noch eine Frage um gerade hier ein
> Verständnis zu bekommen:
>
> Hätte ich nun [mm]\integral \bruch{\wurzel{x}}{x+1}[/mm] wie kann
> ich dann hier geschickt vorgehen?
Substituiere hier zunächst [mm] $u=u(x)=\sqrt{x}$, [/mm] dann kommst du durch eine kleine Umformung auf ein wohlbekanntes Integral!
>
> Vielen Dank nochmal
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 So 05.06.2011 | | Autor: | zocca21 |
Hmm ich seh nicht wie mir das hier weiterhilft:
u = [mm] \wurzel{x}
[/mm]
u' = [mm] \bruch{1}{2} \bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm]
Danke sehr nochmal.
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Hallo, warum hörst du auf
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{x}}{x+1} dx}
[/mm]
Substitution
[mm] u:=\wurzel{x}
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}=\bruch{1}{2\wurzel{x}}
[/mm]
[mm] dx=2\wurzel{x}*du
[/mm]
[mm] 2\integral_{}^{}{\bruch{u^{2}}{u^{2}+1} du}
[/mm]
jetzt mache weiter
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 So 05.06.2011 | | Autor: | zocca21 |
Also weiter machen würd ich so:
t = [mm] u^2 [/mm] + 1
und [mm] u^2 [/mm] = t - 1
2 [mm] \integral \bruch{t-1}{t} [/mm] dt = 2 [mm] \integral [/mm] 1 [mm] -\bruch{1}{t} [/mm] = 2(t - ln(t))
= [mm] 2(u^2+1 [/mm] - [mm] ln(u^2+1) [/mm] = 2(x+1 - ln(x+1)
Ich hoffe ich habe das richtig aufgelöst.
Ich habe leider aber den Zwischenschritt noch nicht ganz verstanden: wie ich mit meinem dx =.... und u=...
Auf das Integral 2 [mm] \integral \bruch{u^2}{u^2+1} [/mm] komme.
Danke nochmal für eure Hilfe!
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Hallo, zu lösen ist
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{x}}{x+1} dx}
[/mm]
Substitution:
[mm] u:=\wurzel{x}
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}=\bruch{1}{2\wurzel{x}}
[/mm]
[mm] dx=2\wurzel{x}*du
[/mm]
jetzt einsetzen
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{u}{u^{2}+1}2\wurzel{x}*du}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{u}{u^{2}+1}2u*du}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{2u^{2}}{u^{2}+1}du}
[/mm]
[mm] =2\integral_{}^{}{\bruch{u^{2}}{u^{2}+1}du}
[/mm]
[mm] =2\integral_{}^{}{\bruch{u^{2}+1-1}{u^{2}+1}du}
[/mm]
[mm] =2\integral_{}^{}{\bruch{u^{2}+1}{u^{2}+1}-\bruch{1}{u^{2}+1}du}
[/mm]
[mm] =2*\integral_{}^{}{1-\bruch{1}{u^{2}+1}du}
[/mm]
das sollte doch wohl schön lösbar sein
Steffi
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