Integral berechnen II < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Sa 10.09.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo!
Berechne das Integral [mm]\int_0^{\pi}\left(\int_x^{\pi}\frac{\sin y}{y} \, dy\right) \, dx[/mm]. |
Nachdem ich mir das (dreieckige) Integrationsgebiet aufgemalt habe, habe ich (eher aufs Geratewohl) alles mit Fubini ein bisschen umgetauscht, nämlich so:
[mm]\int_0^{\pi}\left(\int_0^{y}\frac{\sin y}{y} \, dx\right) \, dy[/mm], damit berechnet sich auch alles wunderbar und man bekommt das Ergebnis 2.
Meine Frage ist jedoch folgende:
In einer Klausur müsste ich ja begründen, dass man den Satz von Fubini anwenden darf.
Könnte mir jemand zeigen, wie man das hier begründen kann? Wie könnte man das (z.B. in einer Klausur) ordentlich "beweisen", dass hier Fubini angewandt werden kann?
Liebe Grüße
mikexx
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[mm]f(y) = \begin{cases} \frac{\sin y}{y} & \mbox{für} \ y \neq 0 \\ 1 & \mbox{für} \ y=0 \end{cases}[/mm]
ist stetig. Das ist Fubini ohne jede Anstrengung. Keine Besonderheiten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Sa 10.09.2011 | | Autor: | mikexx |
Das ist Tonelli, oder?
[Wo man für den Nachweis, ob man Fubini anwenden kann, nur zeigen muss, dass eines der iterierten Integrale über den Betrag der Funktion existiert?]
Existenz meint doch
1.) Für alle x exisitert das innere Integral für den Betrag der Funktion.
2.) Das innere Integral für den Betrag der Funktion ist kleiner unendlich.
Beides ist hier erfüllt, also kann man Fubini anwenden.
So?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Sa 10.09.2011 | | Autor: | mikexx |
Ist das richtig überlegt??
Also quasi Fubini-Tonelli?
Oder wie wir es genannt haben: Fubini und Tonelli im Tandem?
So weit ich weiß, nutzt man das gerne, weil man nur zeigen muss, dass eins der itererite integrale existiert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 So 11.09.2011 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
Was mein Vorredner meinte, ist dass das Lebsgue-Integral einer stetigen Funktion über eine kompakte Menge immer existiert. Von daher kann man sofort Fubini anwenden. Interessanter ist da eigentlich, wieso du die Integrationsgrenzen so ändern darfst wie du es getan hast.
Grüße,
Berieux
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:17 So 11.09.2011 | | Autor: | mikexx |
Achso!
Damit man den Satz von Fubini anwenden kann, muss ja die Funktion (also der Integrand) integrierbar bezüglich des Produktmaßes sein.
Und für ein Produktmaß gilt ja
[mm]\mu(X\times Y)=\mu(X)\cdot \mu(Y)[/mm]
Wie zeigt man jetzt bei dieser Aufgabe, dass die Funktion bezüglich des Produktmaßes integrierbar ist?
[mm]\int_{[0,\pi]\times [x,\pi]}\frac{\sin y}{y}d(x,y)=...?[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 So 11.09.2011 | | Autor: | mikexx |
Achso, integrierbar bzgl. des Produktmaßes d(x,y) meint ja:
[mm]\int_{[0,\pi]\times [x,\pi]} \left\vert\frac{\sin y}{y}\right\vert d(x,y)<\infty[/mm]
Und das ist erfüllt, weil f stetig ist und [mm][0,\pi]\times [x,\pi][/mm] kompakt (weil f also ein Maximum annimmt, das kleiner unendlich ist)?
Muss man sich gar nicht konkret anschauen, wie d(x,y) aussieht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Mo 12.09.2011 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
> Achso, integrierbar bzgl. des Produktmaßes d(x,y) meint
> ja:
>
> [mm]\int_{[0,\pi]\times [x,\pi]} \left\vert\frac{\sin y}{y}\right\vert d(x,y)<\infty[/mm]
>
> Und das ist erfüllt, weil f stetig ist und [mm][0,\pi]\times [x,\pi][/mm]
> kompakt (weil f also ein Maximum annimmt, das kleiner
> unendlich ist)?
>
> Muss man sich gar nicht konkret anschauen, wie d(x,y)
> aussieht?
Nja, du hast da natürlich noch die variable Integrationsgrenze mit der du umgehen musst. Ich würde so argumentieren:
Es gilt: [mm]\int_{[0,\pi]}\int_{x}^{\pi} \frac{\sin y}{y}dydx = \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}\frac{\sin y}{y}\chi_{[0, \pi]}(x)\chi_{[0,x]}(y) dydx [/mm]
[mm]\chi[/mm] ist hier die charakteristische Funktion. Jetzt ist die Funktion unter dem Integral stückweise stetig (du musst natürlich noch erwähnen dass für y=0 alles glatt geht), also insbesondere L.-messbar. Außerdem existiert das Integral, also kannst du jetzt Fubini anwenden.
Grüße,
Berieux
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Mo 12.09.2011 | | Autor: | mikexx |
Dann ist das doch aber letztlich Tonelli: Eines der iterierten Integrale muss existieren.
Naja, okay, den Betrag des Integranden braucht man hier nicht, aber ansonsten ist das für mich Tonelli.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Mo 12.09.2011 | | Autor: | Berieux |
Wenn ihr das unter dem Namen kennen gelernt habt, meinetwegen. Für mich ist das bloß Fubini in einer anderen Version. Unter Tonelli versteh ich eher das ![[]](/images/popup.gif) hier. Du wirst aber natürlich besser wissen wie ihr die Sätze in eurer Vorlesung bezeichnet habt.
Beste Grüße,
Berieux
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:15 Di 13.09.2011 | | Autor: | mikexx |
Das, was ihr hier meint, ist doch das, was man in diesem Link
http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Fubini
unter der Überschrift "Satz von Fubini für das Riemann-Integral" findet, korrekt?
Da steht ja genau das, was ihr meint und weil meines Wissens bei kompakten Mengen die Unterscheidung zwischen Riemann-Integral und Lebesgue-Integral sowieso hinfällig ist (weil beide in diesem Fall identisch sind), kann ich Fubini anwenden.
Ich denke, das ist mir nun einsichtig geworden.
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Aber nochmal eine andere Frage.
Im obigen Link steht dann bei "Satz von Fubini für das Lebesgue-Integral" das Kriterium, dass
[mm]\int_{I\times J}\vert f(x,y)\vert d(x,y)<\infty[/mm]
gelten muss.
Wie würde man das denn konkret berechnen/ nachprüfen, denn irgendwie weiß ich nicht, wie man mit dem Produktmaß eigentlich konkret rechnet.
Kann mir das vllt. jemand mal erklären?
Ich weiß nur, dass für ein Produktmaß
[mm]d(x,y)=d(x)d(y)[/mm] gilt.
Aber wie würde man denn konkret schauen, ob
[mm]\int_{I\times J}\vert f(x,y)d(x)d(y)<\infty[/mm] gilt (was ja Integrierbarkeit bzgl. des Produktmaßes bedeutet)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 Mi 14.09.2011 | | Autor: | Berieux |
Hi!
> Das, was ihr hier meint, ist doch das, was man in diesem
> Link
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Fubini
>
> unter der Überschrift "Satz von Fubini für das
> Riemann-Integral" findet, korrekt?
Gut du hast recht, wie ich sehe. In der deutschen Wikipedia wird tatsächlich mit Tonelli die Version von Fubini bezeichnet die voraussetzt, dass bloß eines der iterierten Integrale existieren muss. Ich kannte das halt auch bloß unter Fubini.
>
> Da steht ja genau das, was ihr meint und weil meines
> Wissens bei kompakten Mengen die Unterscheidung zwischen
> Riemann-Integral und Lebesgue-Integral sowieso hinfällig
> ist (weil beide in diesem Fall identisch sind), kann ich
> Fubini anwenden.
Nein sie sind nicht identisch. Aber jede Funktion mit kompaktem Träger die Riemann Integrierbar ist über [mm]\IR[/mm] ist auch Lebsgue-integrierbar. Die Umkehrung gilt nicht. Und wie gesagt an das Riemann Integral hab ich überhaupt nicht gedacht. Für mich ist halt einfach alles was hier besprochen wurde Fubini für das Lebesgue Integral.
>
> Ich denke, das ist mir nun einsichtig geworden.
>
> ----------------------------------------
>
> Aber nochmal eine andere Frage.
> Im obigen Link steht dann bei "Satz von Fubini für das
> Lebesgue-Integral" das Kriterium, dass
>
> [mm]\int_{I\times J}\vert f(x,y)\vert d(x,y)<\infty[/mm]
>
> gelten muss.
>
> Wie würde man das denn konkret berechnen/ nachprüfen,
> denn irgendwie weiß ich nicht, wie man mit dem Produktmaß
> eigentlich konkret rechnet.
>
> Kann mir das vllt. jemand mal erklären?
Naja, in den meisten konkreten Fällen rechnet man eben nicht mit dem Produktmaß; zumindest nicht beim Lebesguemaß. Deswegen sind ja die Formulierungen mit den iterierten Integralen in der Praxis so wichtig.
>
> Ich weiß nur, dass für ein Produktmaß
>
> [mm]d(x,y)=d(x)d(y)[/mm] gilt.
>
So weit ich weiß gilt das im Allgemeinen nicht; aber es gilt halt für das Lebesgue-Maß.
> Aber wie würde man denn konkret schauen, ob
>
> [mm]\int_{I\times J}\vert f(x,y)d(x)d(y)<\infty[/mm] gilt (was ja
> Integrierbarkeit bzgl. des Produktmaßes bedeutet)?
>
>
>
>
Grüße,
Berieux
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(Frage) überfällig | | Datum: | 13:10 Mi 14.09.2011 | | Autor: | mikexx |
Jetzt bitte einmal ganz konkret.
Im Königsberger, "Analysis 2", steht hierzu Folgendes.
Zitat, S. 293:
"Satz (Tonelli): Eine lokal-integrierbare oder fast überall stetige Funktion [mm]f: X\times Y\to \mathbb C[/mm] ist genau dann über [mm]X\times Y[/mm] integrierbar, wenn wenigstens eines der iterierten Integrale über den Betrag von f
(14) [mm]\int_Y\left(\int_X \vert f(x,y)\vert \, dx\right) \, dy[/mm] oder [mm]\int_X\left(\int_Y\vert f(x,y)\vert \, dy\right) \, dx[/mm]
existiert. Gegebenenfalls gelten die Formel des Satzes von Fubini und die Vertauschungsregel.
Unter der Existenz etwas des linken Integrals in (14) ist ausführlicher das Folgende zu verstehen: Für jedes [mm]y\in Y[/mm] außerhalb einer geeigneten Nullmenge [mm]N\subset Y[/mm] existiert [mm]\int_X\vert f(x,y)\vert \, dx[/mm], und die durch
[mm]F(y):=\int_X\vert f(x,y)\vert \, dx[/mm] für [mm]y\in Y\backslash N[/mm] und durch [mm]F(y):=0 [/mm] für [mm]y\in N[/mm] definierte Funktion ist über Y integrierbar."
Zitat Ende.
Ich möchte doch nur wissen, wie man diesen Satz nun an diesem konkreten Beispiel anwendet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Fr 16.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Di 13.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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