Integral berechnen via Subs. < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:20 Mo 16.07.2007 | | Autor: | PCQ |
| Aufgabe | [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{x^{3}}{x^{2}-1} dx}
[/mm]
Die Grenzen sind unwichtig
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Habe das Integral mittels Subtitution berechnet. Mein Ergebnis ist nicht richtig, aber ich finde den Fehler nicht.
Meine Rechnung:
------
Sub:
u = [mm] x^2-1 [/mm]
u'= 2x => du = 2x dx
------
= 1/2 [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{x^{2}}{x^{2}-1} 2x dx}
[/mm]
= [mm] 1/2*\integral_{a}^{b}{\bruch{x^{2}}{u} du}
[/mm]
= [mm] 1/2*x^{2}*log(u)
[/mm]
= [mm] 1/2*log(x^2-1 [/mm] )
Folgendes sollte rauskommen:
= [mm] 1/2*(x^2 [/mm] + [mm] log(x^2-1 [/mm] ))
Es wäre sehr nett, wenn jemand den Fehler findet und mir erklärt was ich falsch gemacht habe.
P.S.: Die Lösung kommt vom Online Wolfram Integrator
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:13 Mo 16.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen PCQ,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Zum einen must Du hier umformen zu: [mm] $\blue{dx \ = \ \bruch{du}{2x}}$ [/mm] .
Und zum anderen darfst / kannst Du nicht integrieren, wenn Du zwei unterschiedliche Variablen mit $x_$ und $u_$ im Integral hast. Aber Du kannst ja [mm] $x^2$ [/mm] darstellen als: [mm] $\red{u \ = \ x^2-1}$ $\gdw$ $\green{x^2 \ = \ u+1}$ [/mm] :
[mm] $\integral{\bruch{x^3}{x^2-1} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\integral{\bruch{\green{x^2}*2x}{\red{x^2-1}} \ \blue{dx}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\integral{\bruch{(\green{u+1})*2x}{\red{u}} \ \blue{\bruch{du}{2x}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\integral{\bruch{u+1}{u} \ du}\ [/mm] = \ [mm] \bruch{1}{2}*\integral{1+\bruch{1}{u} \ du}$
[/mm]
Kommst Du nun weiter?
Gruß
Loddar
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> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{x^{3}}{x^{2}-1} dx}[/mm]
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> Die Grenzen sind unwichtig
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> Habe das Integral mittels Subtitution berechnet. Mein
> Ergebnis ist nicht richtig, aber ich finde den Fehler
> nicht.
Einmal ganz unabhängig von den Details Deiner Rechnung folgender Tipp: wenn Du eine rationale Funktion integrieren musst, deren Zählerpolynom von Grad [mm] $\geq$ [/mm] Grad des Nennerpolynoms ist (wie bei dieser Aufgabe), solltest Du zuallererst einmal eine Polynomdivision durchführen. Erst danach solltest Du weitere Schritte ins Auge fassen (wie Substitution, Partialbruchzerlegung, usw.).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:30 Mo 16.07.2007 | | Autor: | PCQ |
Vielen Dank für Eure Hilfe. Die Substitution muss ich wohl mal wieder üben und an Polynomdiv. habe ich gar nicht gedacht. Das macht die Sache ja sehr viel leichter. Also Danke Euch beiden!!! :)
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