Integral bestimmen per Definit < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich möchte per Definition ein Integral in anderen Grenzen als in [0,1] lösen.
Es geht nur um das Prinzip, daher nehme ich als Beispiel eine einfache Aufgabe.
Ich habe [mm] f:[0,1]->\IR [/mm] f(x)=x
Per Definition ist : [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = sup [mm] US_{P}(f) [/mm] = inf [mm] OS_{P}(f)
[/mm]
US = Untersumme
OS = Obersumme
P = Partition
[mm] I_{k} [/mm] = k-te Teilintervall
[mm] \Delta_{k} [/mm] = breite des k-ten Teilintervalls
[mm] OS_{p}(f) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}M_{k}(f)\Delta_{k}
[/mm]
[mm] US_{p}(f) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}m_{k}(f)\Delta_{k}
[/mm]
[mm] m_{k}(f)=inf\{f(x)|x\in I_{k}\}
[/mm]
[mm] M_{k}(f)=sup\{f(x)|x\in I_{k}\}
[/mm]
Für [mm] f:[0,1]->\IR [/mm] f(x)=x
ergibt sich:
[mm] P=\{0,\bruch{1}{n},\bruch{2}{n},...,\bruch{n-1}{n},1\}
[/mm]
[mm] I_{k}=[\bruch{k-1}{n},\bruch{k}{n}] [/mm] und [mm] \Delta_{k}=\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] m_{k}(f)=inf\{f(x)|x\in [\bruch{k-1}{n},\bruch{k}{n}]\}=\bruch{k-1}{n}
[/mm]
[mm] M_{k}(f)=sup\{f(x)|x\in [\bruch{k-1}{n},\bruch{k}{n}]\}=\bruch{k}{n}
[/mm]
[mm] US_{p}(f) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}m_{k}(f)\Delta_{k}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{k-1}{n}\bruch{1}{n}=\bruch{1}{2}(1-\bruch{1}{n})
[/mm]
[mm] OS_{p}(f) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}M_{k}(f)\Delta_{k}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{k}{n}\bruch{1}{n}=\bruch{1}{2}(1+\bruch{1}{n})
[/mm]
Geht [mm] n\to\infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] sup [mm] US_{P}(f)= [/mm] inf [mm] OS_{P}(f)=\bruch{1}{2}
[/mm]
Soweit ist das Schema klar. Nur was ist, wenn ich nicht in den Grenzen von 0-1, sondern z.B. in den Grenzen 0-4 oder 2-5 das Integral berechnen möchte?
Muss da wohl irgendwas an der Summe ändern. Habe aber überhaupt keine Idee.
Gruß LordPippin
|
|
| |
|
Huhu,
du betrachtest ja immer das Intervall [mm] $[\bruch{k-1}{n},\bruch{k}{n}]$
[/mm]
Nun überleg dir mal, wieso du dann die Summe von k=1 bis n laufen lässt?
Welches Gesamtintervall betrachtest du dann?
Dann kommst bestimmt auch drauf, was du an der Summe ändern müsstest, um [0,4] zu betrachten 
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
Hallo Gonozal_IX,
vielen Dank für deine Antwort.
Also müsste ich in diesem speziellen Fall die Summe bis 4n laufen lassen.
Gruß
|
|
|
| |
|
Huhu,
genau so ist es
MFG,
Gono.
|
|
|
|
