Integral der Komposition < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 Fr 25.12.2020 | | Autor: | Jellal |
Guten Abend!
Seien X ein kompakter metrischer Raum, f: X --> [mm] \IR [/mm] stetig, [mm] (M,\mathcal{M},\mu) [/mm] ein Maßraum mit [mm] \mu(M)<\infty [/mm] und [mm] \phi: [/mm] M --> X eine [mm] \mathcal{M}-\mathcal{B}(\IR) [/mm] [edit: es ist [mm] \mathcal{B}(X)] [/mm] messbare Funktion.
In einem ersten Schritt soll ich zeigen, dass [mm] f(\phi(m)) [/mm] integrierbar ist. Ich muss also zeigen, dass [mm] \integral_{M}^{}{|f(\phi(m))| d\mu(m)}<\infty.
[/mm]
Ich weiß, dass stetige Funktionen fast immer endlich sind, und dass [mm] \mu(M)<\infty. [/mm] Aber das reicht nicht aus (was ist, wenn die Funktion an einem solchen Punkt zu schnell ins unendliche divergiert, wie z.B. 1/x beim Riemann-Integral?).
Ich weiß noch, dass die Verkettung wieder messbar ist (das Inverse einer stetigen Funktion bildet offene Mengen in offene Mengen und damit in Mengen der [mm] Borel-\sigma-Algebra [/mm] ab, wodurch die ganze Verkettung messbar wird). Aber wie kann ich das benutzen?
Einen Tipp?
vG. und frohe Weihnachten :))
Jellal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:40 Sa 26.12.2020 | | Autor: | ChopSuey |
Ein paar Anmerkungen:
Das stetige Bild eines Kompaktums ist kompakt und nimmt auf [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] ein minimum und maximum an.
>
> (das Inverse einer stetigen Funktion bildet offene Mengen in
> offene Mengen und damit in Mengen der [mm]Borel-\sigma-Algebra[/mm]
> ab
Was du sicher meinst ist dass Urbilder offener Mengen offen sind. Das Inverse einer stetigen Abbildung, falls es denn existiert, ist nicht notwendigerweise offen.
>
> Einen Tipp?
>
> vG. und frohe Weihnachten :))
> Jellal
>
>
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Hiho,
> Seien X ein kompakter metrischer Raum, f: X --> [mm]\IR[/mm] stetig,
> [mm](M,\mathcal{M},\mu)[/mm] ein Maßraum mit [mm]\mu(M)<\infty[/mm] und
> [mm]\phi:[/mm] M --> X eine [mm]\mathcal{M}-\mathcal{B}(\IR)[/mm] messbare
> Funktion.
Aha, damit implizierst du schon mal, dass $X = [mm] \IR$ [/mm] gelten soll, aber damit wäre X nicht kompakt.
Denn: [mm] $\phi: [/mm] M [mm] \to [/mm] X$ und gleichzeitige [mm] $\mathcal{M}$-$\mathcal{B}(\IR)$-Meßbarkeit [/mm] geht formal nur, wenn [mm] $X=\IR$.
[/mm]
Ich orakel jetzt mal: Es soll [mm] $X\subseteq \IR$ [/mm] gelten und [mm] $\phi$ [/mm] soll dann [mm] $\mathcal{M}$-$\mathcal{B}(X)$-meßbar [/mm] sein.
> Ich weiß […] dass [mm]\mu(M)<\infty.[/mm]
> Aber das reicht nicht aus
Doch, zusammen mit ChopSueys Hinweis übers Maximum und Minimum reicht das aus.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Sa 26.12.2020 | | Autor: | Jellal |
Hi Gono,
es sollte [mm] \mathcal{B}(X) [/mm] heißen. Sorry^^"
Aber ich nehme an, das ändert an Chop Suey's Hinweis nichts?
Damit würde ich wissen dass f: X --> [mm] \IR [/mm] stetig, mit kompaktem X, integrierbar ist. Dass die x-Werte die Bildpunkte einer Funktion [mm] \phi: [/mm] M --> X sind, spielt dabei ja keine Rolle.
Frage mich nur, ob ich Chop Suey's Hinweis beweisen soll, oder ob ich das voraussetzen darf...
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Hiho,
> es sollte [mm]\mathcal{B}(X)[/mm] heißen. Sorry^^"
> Aber ich nehme an, das ändert an Chop Suey's Hinweis nichts?
Korrekt, mit Maßtheorie hat der Beweis (bis auf die Meßbarkeit des Integranden) nämlich gar nix zu tun…
> Damit würde ich wissen dass f: X --> [mm]\IR[/mm] stetig, mit
> kompaktem X, integrierbar ist. Dass die x-Werte die
> Bildpunkte einer Funktion [mm]\phi:[/mm] M --> X sind, spielt dabei
> ja keine Rolle.
Korrekt.
> Frage mich nur, ob ich Chop Suey's Hinweis beweisen soll, oder ob ich das
voraussetzen darf...
Das hängt von deinem Prof ab… das ist allerdings Schul- oder wenigstens Erstsemesterwissen.
In diesem Sinne würde ich es schon als bekannt voraussetzen.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Sa 26.12.2020 | | Autor: | Jellal |
Danke dir Gono. Dann fasse ich nochmal in eigenen Worten zusammen und gehe weiter in der Aufgabe.
Sei also [mm] (M,\mathcal{M},\mu) [/mm] ein Maßraum mit [mm] \mu(M)<\infty. [/mm] Seien X ein kompakter metrischer Raum, [mm] \phi: [/mm] M->X eine [mm] \mathcal{M}-\mathcal{B}(X) [/mm] messbare Funktion, und f: [mm] X->\IR [/mm] stetig, also [mm] f\in [/mm] C(X).
Ich will die Wohldefiniertheit zeigen von dem Funktional
[mm] \Phi: C(X)->\IR [/mm] mit [mm] \Phi(f)=\integral_{M}^{}{f\circ \phi d\mu} [/mm] (d.h. laut Aufgabenstellung, zeigen, dass [mm] f\circ \phi [/mm] integrierbar ist). Dazu gehört wohl aber auch die Messbarkeit?
Also: f ist stetig, das heißt [mm] f^{-1}(\Omega) [/mm] ist offen in X (und damit [mm] \in \mathcal{B}(X)) [/mm] für alle offenen [mm] \Omega \in \IR. [/mm]
[mm] \phi [/mm] ist [mm] \mathcal{M}-\mathcal{B}(X) [/mm] messbar, also [mm] \phi^{-1}(B)\in \mathcal{M} [/mm] für alle [mm] B\in \mathcal{B}(X). [/mm] Damit ist [mm] f\circ\phi: M->\IR [/mm] messbar.
Dann: X ist kompakt, dann nimmt f ein globales Maximum/Minimum auf [mm] \IR [/mm] an, da stetige Funktionen kompakte Mengen in kompakte Mengen abbilden, welche in [mm] \IR [/mm] beschränkt sind. Also |f(x)| ist beschränkt für alle x [mm] \in [/mm] X.
Dann gilt: [mm] \integral_{M}^{}{f(\phi(m)) d\mu(m)}\le sup_{x\inX}|f(x)|\mu(M) \le \infty, [/mm] da beide Faktoren endlich sind.
Das gegeben soll ich nun zeigen, dass [mm] \Phi(f) [/mm] ein positives Funktional ist (also Linearität und Positivität):
Seien [mm] a,b\in\IR, [/mm] f,g [mm] \in [/mm] C(X) (stetige Funktionen von X nach [mm] \IR).
[/mm]
Dann ist a*f+b*g auch [mm] \in [/mm] C(X) und die "Wohldefiniertheit" gilt.
Damit [mm] \Phi(af+bg)=\integral_{M}^{}{[af+bg]\circ\phi d\mu}=\integral_{M}^{}{[af\circ\phi+bg\circ\phi]d\mu}
[/mm]
[mm] =a\integral_{M}^{}{f\circ\phi d\mu} [/mm] + [mm] b\integral_{M}^{}{g\circ\phi d\mu} =a\Phi(f)+b\Phi(g), [/mm] wobei die Linearität des Integrals wegen der gezeigten "Wohldefiniertheit" benutzt werden darf.
Außerdem, ist [mm] f\ge0, [/mm] dann ist ist auch [mm] f\circ\phi\ge0 [/mm] und [mm] \Phi(f)=\integral_{M}^{}{f(\phi(m)) d\mu(m)}\ge \integral_{M}^{}{0 d\mu(m)}=0. [/mm] Damit ist [mm] \Phi [/mm] positives Funktional.
Die Aufgabe folgert nun mit dem Bisherigen und Riesz-Repräsentationstheorem, dass es ein eindeutiges, endliches Borelmaß [mm] \mu_{\Phi} [/mm] auf X geben muss, sodass [mm] \Phi(f)=\integral_{X}^{}{f d\mu_{\Phi}} [/mm] für alle [mm] f\in [/mm] C(X).
Sei [mm] \mu_{\phi}: \mathcal{B}(X)->[0,\infty], [/mm]
[mm] \mu_{\phi}(B)=\mu(\phi^{-1}(B)) [/mm] für alle [mm] B\in \mathcal{B}(X).
[/mm]
Zu zeigen ist wieder eine Wohldefiniertheit, womit gemeint ist, dass wenn [mm] B\in \mathcal{B}(X), [/mm] dann [mm] \phi^{-1}(B)\in\mathcal{M}. [/mm] Ich dachte allerdings, das wäre schon durch die [mm] \mathcal{M}-\mathcal{B}(X) [/mm] Messbarkeit gegeben... oder habe ich es oben falsch gemacht, und die Messbarkeit heißt erstmal nur dass [mm] \phi^{-1}(B)\in\mathcal{M} [/mm] für offene [mm] B\in [/mm] X? Dann muss man es noch auf alle Borel-Mengen erweitern...
Im nächsten Schritt soll ich zeigen, dass [mm] \mu_{\phi} [/mm] ein Borelmaß auf X ist. Das ist ja einfach nur ein Maß auf einer [mm] Borel-\sigma [/mm] -Algebra, sodass ich nur die Maßeigenschaften zeigen muss:
1) [mm] \mu_{\phi}(\emptyset)=\mu(\phi^{-1}(\emptyset))=\mu(\emptyset)=0 [/mm] weil [mm] \mu [/mm] ein Maß ist und das Urbild der leeren Menge immer die leere Menge ist.
2) Seien [mm] B_{1}, B_{2},... \in \mathcal{B}(X). [/mm]
[mm] \mu_{\phi}(\bigcup_{i=1}^{}B_{i})=\mu(\phi^{-1}(\bigcup_{i=1}^{}B_{i}))=\mu(\bigcup_{i=1}^{}\phi^{-1}(B_{i}))=\summe_{i=1}^{}\mu(\phi^{-1}(B_{i}))=\summe_{i=1}^{}\mu_{\phi}(B_{i}), [/mm] wobei im vorletzten Schritt [mm] \phi^{-1}(B_{i})\in\mathcal{M} [/mm] benutzt wurde und [mm] \mu [/mm] ein Maß ist. Damit ist [mm] \mu_{\phi} [/mm] ein Maß.
Beim letzten Aufgabenteil steh ich total auf dem Schlauch:
Ich soll nun zeigen, dass [mm] \mu_{\phi} [/mm] = [mm] \mu_{\Phi}.
[/mm]
Der Hinweis: Wenn f: M [mm] -->[0,\infty] [/mm] positive Borel-Funktion ist, dann gibt es eine aufsteigende Folge [mm] (S_{n})_{n} [/mm] einfacher Borel-Funktionen [mm] S_{n}: M->[0,\infty], [/mm] die punnktweise gegen f konvergiert.
Da meine Funktionen f auf X definiert sind und M nicht mit der [mm] Borel-\sigma-Algebra [/mm] versehen ist, gehe ich mal davon aus, dass die Namen im Hinweis ungünstig gewählt sind.
Ich glaube, ich soll über die Gleichheit der Integrale argumentieren: [mm] \integral_{X}^{}{f d\mu_{\phi}}=\integral_{M}^{}{f\circ\phi d\mu}.
[/mm]
Der Hinweis klingt so, als solle man das Monoton-Konvergenz-Theorem benutzen. Sicher kann ich also schreiben [mm] \integral_{X}^{}{f d\mu_{\phi}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{X}^{}{S_{n} d\mu_{\phi}} [/mm] und weiter könnte ich dieses Integral als Summe über die Intervalle schreiben, auf denen [mm] S_{n} [/mm] konstant ist. Aber der Knaller scheint mir die Idee nicht zu sein...
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Hiho,
> Ich will die Wohldefiniertheit zeigen von dem Funktional […] zeigen. Dazu gehört wohl aber auch die Messbarkeit?
Korrekt.
> Also: f ist stetig, das heißt [mm]f^{-1}(\Omega)[/mm] ist offen in X (und damit [mm]\in \mathcal{B}(X))[/mm] für alle offenen [mm]\Omega \in \IR.[/mm]
Dem Grunde nach korrekt, auch wenn du schlampig aufschreibst.
Es muss heißen [mm]\Omega \subseteq \IR[/mm]
Das mit dem Aufschrieb zieht sich bei dir durch die gesamte Aufgabe.
Also: Notiere sauberer!
Warum reicht es hier, die offenen Mengen zu betrachten?
> [mm]\phi[/mm] ist [mm]\mathcal{M}-\mathcal{B}(X)[/mm] messbar, also
> [mm]\phi^{-1}(B)\in \mathcal{M}[/mm] für alle [mm]B\in \mathcal{B}(X).[/mm]
Auch korrekt.
> Damit ist [mm]f\circ\phi: M->\IR[/mm] messbar.
Nein, das reicht ohne weiteres noch nicht, zumindest nicht, bis du die Frage bezüglich der offenen Mengen beantwortet hast…
> Dann gilt: [mm]\integral_{M}^{}{f(\phi(m)) d\mu(m)}\le sup_{x\inX}|f(x)|\mu(M) \le \infty,[/mm]
Mach dir bewusst, dass du statt [mm] \sup [/mm] hier auch [mm] \max [/mm] schreiben kannst, es es angenommen wird.
Dann: [mm] $\le \infty$ [/mm] bringt dir gar nichts. Wieder ein unsauberer Aufschrieb, da muss ein < stehen.
> Die Aufgabe folgert nun mit dem Bisherigen und Riesz-Repräsentationstheorem
Welches voraussetzt, dass du ein stetiges Funktional hast.
Wieso ist dein [mm] $\Phi$ [/mm] stetig?
> dass es ein eindeutiges, endliches Borelmaß [mm]\mu_{\Phi}[/mm] auf X geben muss, sodass [mm]\Phi(f)=\integral_{X}^{}{f d\mu_{\Phi}}[/mm] für alle [mm]f\in[/mm] C(X).
Ist dir klar, wieso das aus dem Riesz-Repräsentationstheorem folgt?
> Sei [mm]\mu_{\phi}: \mathcal{B}(X)->[0,\infty],[/mm]
> [mm]\mu_{\phi}(B)=\mu(\phi^{-1}(B))[/mm] für alle [mm]B\in \mathcal{B}(X).[/mm]
>
> Zu zeigen ist wieder eine Wohldefiniertheit, womit gemeint
> ist, dass wenn [mm]B\in \mathcal{B}(X),[/mm] dann
> [mm]\phi^{-1}(B)\in\mathcal{M}.[/mm] Ich dachte allerdings, das
> wäre schon durch die [mm]\mathcal{M}-\mathcal{B}(X)[/mm]
> Messbarkeit gegeben...
Das ist es auch, denn die Meßbarkeitseigenschaft gilt für beliebige meßbare Mengen.
> oder habe ich es oben falsch gemacht, und die Messbarkeit heißt erstmal nur dass
> [mm]\phi^{-1}(B)\in\mathcal{M}[/mm] für offene [mm]B\in[/mm] X? Dann muss
> man es noch auf alle Borel-Mengen erweitern...
Nein, aber du betrachtest oben nur die offenen Mengen, und wie ich schon nachfragte: Warum reicht es aus, die offenen Mengen zu betrachten um eine Aussage über alle meßbaren Mengen zu bekommen?
Das ist der Knackpunkt und da fehlt dir wohl Basiswissen.
Tipp: Schlage nochmal im Abschnitt "Meßbarkeit von Funktionen" nach, dort habt ihr bestimmt ein entsprechendes Theorem bewiesen…
> Im nächsten Schritt soll ich zeigen, dass [mm]\mu_{\phi}[/mm] ein
> Borelmaß auf X ist. Das ist ja einfach nur ein Maß auf
> einer [mm]Borel-\sigma[/mm] -Algebra, sodass ich nur die
> Maßeigenschaften zeigen muss:
Darum überspringe ich das auch… Fingerübung.
> Beim letzten Aufgabenteil steh ich total auf dem Schlauch:
> Ich soll nun zeigen, dass [mm]\mu_{\phi}[/mm] = [mm]\mu_{\Phi}.[/mm]
Na dann machen wir das mal…
> Der Hinweis: Wenn f: M [mm]-->[0,\infty][/mm] positive
> Borel-Funktion ist, dann gibt es eine aufsteigende Folge
> [mm](S_{n})_{n}[/mm] einfacher Borel-Funktionen [mm]S_{n}: M->[0,\infty],[/mm]
> die punnktweise gegen f konvergiert.
Du wirst gleich sehen, wofür du das brauchst.
> Da meine Funktionen f auf X definiert sind und M nicht mit
> der [mm]Borel-\sigma-Algebra[/mm] versehen ist, gehe ich mal davon
> aus, dass die Namen im Hinweis ungünstig gewählt sind.
Na ihr müsst ja den Begriff "Borel-Funktion" irgendwo definiert haben…
> Ich glaube, ich soll über die Gleichheit der Integrale
> argumentieren: [mm]\integral_{X}^{}{f d\mu_{\phi}}=\integral_{M}^{}{f\circ\phi d\mu}.[/mm]
Korrekt.
Mach dir klar: Würde die Gleichung für alle Indikator-Funktionen gelten, so folgt $ [mm] \mu_{\phi} [/mm] = [mm] \mu_{\Phi}$ [/mm] (Warum?)
Und dafür brauchst du obigen Hinweis.
Nach Voraussetzung ist $f$ stetig, Indikatorfunktionen sind dies aber im Allgemeinen nicht.
Also heißt es: Approximieren.
Jetzt du!
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:33 Mo 28.12.2020 | | Autor: | Jellal |
Hi Gono,
lass mich zuerst auf die ersten beiden Sachen eingehen:
Messbarkeit:
Ich bin gerade nochmal das Skript durchgegangen, und wir haben Messbarkeit tatsächlich nur für reell- und komplex-wertige Funktionen definiert. Ich habe dem Prof. gerade mal eine Mail geschickt. Das ist so ein neues Ring-Format, bei dem der Leser alle drei Kapitel wechselt. Es kam jetzt schon ein paar Mal vor, dass der nächste Prof. sich auf Definitionen verlassen hat, die der letzte Prof. noch gar nicht gemacht hat... Etwas ärgerlich.
Die Messbarkeit von [mm] \phi [/mm] oder was eine Borel-Funktion ist, wurde nicht erklärt. Ich gehe da mal von der Wikipedia-Definition aus, da steht beides: ![[]](/images/popup.gif) https://en.wikipedia.org/wiki/Measurable_function
[edit: in der Stochastik-Vorlesung im letzten Jahr wurde das lustigerweise sogar vernünftig definiert, ich erinnere mich gerade. Hatte da sogar mal einen Thread hier bzgl. Messbarkeit der Komposition...]
f ist ja immerhin reellwertig: f: [mm] X->\IR [/mm] ist messbar, wenn [mm] \{x\in X: f(x)>\alpha\} \in \mathcal{B}(X) \forall \alpha \in \IR. [/mm] Das wurde als äquivalent etabliert zu: f ist messbar, wenn [mm] f^{-1}(\Omega)\in \mathcal{B}(X) [/mm] für alle offenen [mm] \Omega \subseteq \IR.
[/mm]
(Die Äquivalenz folgt durch [mm] \{x\in X: f(x)>\alpha\}=f^{-1}((\alpha,\infty)) [/mm] und Eigenschaften der [mm] \sigma-Algebra.)
[/mm]
Bei der Komposition [mm] f\circ\phi [/mm] muss ich folglich zeigen [mm] (f\circ\phi)^{-1}(\Omega)=\phi^{-1}(f^{-1}(\Omega)) \in \mathcal{M} [/mm] für alle offenen [mm] \Omega \subseteq \IR. [/mm]
f ist stetig, sodass [mm] f^{-1}(\Omega) [/mm] offen ist, damit ist [mm] f^{-1}(\Omega)\in \mathcal{B}(X). [/mm]
[mm] \phi [/mm] ist aber [mm] \mathcal{M}-\mathcal{B}(X) [/mm] messbar, womit [mm] \phi^{-1}(f^{-1}(\Omega)) \in \mathcal{M} [/mm] ist.
Dass die Aufgabenstellung nun sagt, man solle die Wohl-Definiertheit von [mm] \mu_{\phi} [/mm] zeigen, indem man zeigt, dass [mm] \phi^{-1}(B)\in\mathcal{M} \forall B\in\mathcal{B}(X) [/mm] macht dann ja nicht viel Sinn, da das per Definition der Messbarkeit schon gegeben ist...
Zum Riesz-Theorem:
Das hatten wir für positive Funktionale formuliert (keine Definition von "stetigen Funktionalen" wurde benutzt), also diese Aussage in der Aufgabenstellung ist klar.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Mi 30.12.2020 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 14:49 Di 29.12.2020 | | Autor: | Jellal |
> > Ich glaube, ich soll über die Gleichheit der Integrale
> > argumentieren: [mm]\integral_{X}^{}{f d\mu_{\phi}}=\integral_{M}^{}{f\circ\phi d\mu}.[/mm]
>
> Korrekt.
> Mach dir klar: Würde die Gleichung für alle
> Indikator-Funktionen gelten, so folgt [mm]\mu_{\phi} = \mu_{\Phi}[/mm]
> (Warum?)
>
> Und dafür brauchst du obigen Hinweis.
> Nach Voraussetzung ist [mm]f[/mm] stetig, Indikatorfunktionen sind
> dies aber im Allgemeinen nicht.
> Also heißt es: Approximieren.
> Jetzt du!
Nun zu dem Teil. Das mit den Indikatorfunktionen war der entscheidende Hinweis.
Ich zeige zunächst:
Für jede messbare Menge [mm] E\in\mathcal{B}(X) [/mm] gilt [mm] \integral_{X}^{}{\mathbm{I}_{E}(x) d\mu_{\phi}}=\integral_{M}^{}{\mathbm{I}_{E}(\phi(m)) d\mu}
[/mm]
Es ist [mm] \integral_{X}^{}{\mathbm{I}_{E}(x) d\mu_{\phi}}=\mu_{\phi}(E)
[/mm]
und
[mm] \integral_{M}^{}{\mathbm{I}_{E}(\phi(m)) d\mu}=\mu(\phi^{-1}(E)\cap M)=\mu(\phi^{-1}(E))=\mu_{\phi}(E)
[/mm]
Im vorletzten Schritt wurden die Messbarkeiten von E und [mm] \phi [/mm] benutzt mit [mm] \phi^{-1}(E)\in \mathcal{M} [/mm] mit [mm] \phi^{-1}(E)\subseteq [/mm] M.
Angenommen, f sei eine positive Funktion. Dann kann ich schreiben [mm] f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}S_{n}(x) [/mm] mit einfachen positiven und messbaren Funktionen [mm] S_{n}=\summe_{k=1}^{N_{n}}a_{n,k}\mathbm{I}_{E_{n,k}}(x) [/mm] mit messbaren Mengen [mm] E_{n,k}.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] \integral_{X}^{}{f(x) d\mu_{\phi}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{X}^{}{S_{n}(x) d\mu_{\phi}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{X}^{}{\summe_{k=1}^{N_{n}}a_{n,k}\mathbm{I}_{E_{n,k}}(x) d\mu_{\phi}}= \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{N_{n}}a_{n,k}\integral_{X}^{}{\mathbm{I}_{E_{n,k}}(x) d\mu_{\phi}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{N_{n}}a_{n,k}\mu_{\phi}(E_{n,k})
[/mm]
Im ersten Schritt wurde das Monoton-Konvergenz-Theorem benutzt.
Ähnlich ist [mm] \integral_{M}^{}{f(\phi(m)) d\mu}=\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{M}^{}{S_{n}(\phi(m)) d\mu}=\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{M}^{}{\summe_{k=1}^{N_{n}}a_{n,k}\mathbm{I}_{E_{n,k}}(\phi(m)) d\mu}= \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{N_{n}}a_{n,k}\integral_{M}^{}{\mathbm{I}_{E_{n,k}}(\phi(m)) d\mu} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{N_{n}}a_{n,k}\mu_{\phi}(E_{n,k})
[/mm]
Damit [mm] \integral_{X}^{}{f(x) d\mu_{\phi}}=\integral_{M}^{}{f(\phi(m)) d\mu} [/mm] und damit [mm] \mu_{\phi}=\mu_{\Phi}.
[/mm]
Für reell-wertige f spalte ich die Funktion auf in Positiv- und Negativteil: [mm] f(x)=f^{+}(x) [/mm] - [mm] f^{-}(x) [/mm] mit [mm] f^{+}(x):=max(f(x),0) [/mm] und [mm] f^{-}(x):=-min(f(x),0).
[/mm]
Ich muss begründen, dass die Summanden selbst messbar sind. Ich habe ein Lemma, das besagt, dass wenn f messbar ist, so ist auch [mm] f*\mathbm{I}_{E} [/mm] messbar für messbare E. Und [mm] f^{+}(x) [/mm] kann ich schreiben als [mm] f(x)*\mathbm{I}_{E}(x) [/mm] mit [mm] E:=\{x\in X: f(x)>0 \} [/mm] und diese Menge ist messbar. Ähnlich bei [mm] f^{-}(x).
[/mm]
Nun sind [mm] f^{+} [/mm] und [mm] f^{-} [/mm] positive messbare Funktionen, und damit kann ich das gesamte Argument von oben auf sie anwenden.
Allerdings gilt die Linearität des Lebesgue-Integrals nur für integrable Funktionen. Nur wenn f integrierbar ist, kann ich schreiben
[mm] \integral_{X}^{}{f d\mu_{\phi}}=\integral_{X}^{}{f^{+} d\mu_{\phi}} [/mm] - [mm] \integral_{X}^{}{f^{-} d\mu_{\phi}}.
[/mm]
Ganz oben habe ich gezeigt, dass die Komposition [mm] f\circ\phi [/mm] integrierbar ist. Mit gleichem Argument: X ist kompakter metrischer Raum, d.h. f nimmt ein Maximum an. Außerdem ist [mm] \mu_{\phi}(X)=\mu(\phi^{-1}(X))\le \mu(M) [/mm] < [mm] \infty.
[/mm]
Damit ist f integrierbar und alles ist gezeigt.
So gut :)??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Fr 01.01.2021 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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