Integral divergiert < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Mi 29.12.2010 | | Autor: | xtraxtra |
| Aufgabe | | Man soll zeigen, dass [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^{2}ln(x)} dx}<\infty [/mm] falsch ist. |
Meine Überlegung war erstmal das ganze zu integrienen. Ich substituiere u=ln(x) und erhalte dann : [mm] \limes_{y\rightarrow\infty}\integral_{0}^{ln(y)}{\bruch{1}{u} du}
[/mm]
Aber an dieser Stelle weiß ich dann nicht wirklich, wie ich weiter machen soll.
|
|
| |
|
Hallo xtraxtra,
da ist Dir vor allem erstmal ein Rechenfehler unterlaufen:
> Man soll zeigen, dass
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^{2}ln(x)} dx}<\infty[/mm]
> falsch ist.
> Meine Überlegung war erstmal das ganze zu integrienen.
Das ist eine schwere Aufgabe. Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier und folge dort auch den beiden Links unten auf der Seite zur Integralexponentialfunktion.
> Ich substituiere u=ln(x) und erhalte dann :
> [mm]\limes_{y\rightarrow\infty}\integral_{0}^{ln(y)}{\bruch{1}{u} du}[/mm]
Das wäre schön. Ich erhalte etwas anderes. In der Aufgabe stand ein [mm] x^2 [/mm] im Nenner!
> Aber an dieser Stelle weiß ich dann nicht wirklich, wie
> ich weiter machen soll.
Die Grundidee ist gut. Also erstmal richtig substituieren.
Dann kannst du zwar das Integral immer noch nicht bestimmen, aber Du könntest gegen ein Integral abschätzen, das sicher kleiner ist, aber dennoch divergiert.
Tipp: dazu ist die Abschätzung [mm] x
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:21 Do 30.12.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
mein Tipp am Ende war zwar nicht falsch, aber er vereinfacht Dir die Aufgabe leider nicht. Sorry.
Ich bin ab morgen früh verreist. Wenn mir eine bessere Abschätzung einfällt, melde ich mich nochmal.
Die ursprüngliche Frage stelle ich ansonsten wieder auf halboffen.
Zur Kenntnis: ich habe folgende Abschätzungen probiert:
[mm] ue^u
[mm] ue^u
[mm] ue^u
Die erste Abschätzung zeigt die Divergenz nicht.
Die zweite und dritte werfen mehr neue Probleme auf als sie lösen.
War wohl doch keine so gute Idee.
Pardon!
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:50 Do 30.12.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Man soll zeigen, dass
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^{2}ln(x)} dx}<\infty[/mm]
> falsch ist.
> Meine Überlegung war erstmal das ganze zu integrienen.
> Ich substituiere u=ln(x) und erhalte dann :
> [mm]\limes_{y\rightarrow\infty}\integral_{0}^{ln(y)}{\bruch{1}{u} du}[/mm]
>
> Aber an dieser Stelle weiß ich dann nicht wirklich, wie
> ich weiter machen soll.
Als erstes solltest du dir mal überlegen, dass das Integral nicht an der oberen, sondern der unteren Grenze divergiert.
Die Substitution [mm] $u=\ln [/mm] x$ ist, wie Reverend schon schrieb, falsch durchgeführt:
[mm] \integral_{a}^{b} {\bruch{1}{x^{2}ln(x)} dx} = \integral_{\ln a}^{\ln b} \bruch{e^{-u}}{u} du [/mm] .
Und das Integral auf der rechten Seite divergiert im Limes [mm] $b\to [/mm] 1+ $ bzw. $ [mm] \ln [/mm] b [mm] \to [/mm] 0+$. Zur Abschätzung genügt es, das Integral
[mm] \integral_{\epsilon}^{1} \bruch{e^{-u}}{u} du [/mm]
zu betrachten. Da auf dem Intervall $[0,1]$ gilt, dass [mm] $e^{-u}\ge [/mm] e$, ist
[mm] \integral_{\epsilon}^{1} \bruch{e^{-u}}{u} du \le e \integral_{\epsilon}^{1} \bruch{1}{u} du = - e \ln \epsilon \mathop{\longrightarrow}\limits_{\epsilon\to 0} \infty [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
